高中数学人教版必修5 第一章解三角形 1.2 应用举例同步练习

试卷更新日期：2018-03-08 类型：同步测试

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一、选择题

1. 某人向正东方向走 $x km$ 后，向右转 $135 °$ ，然后朝新方向走 $2 km$ ，结果他离出发点恰好 $\sqrt{2} km$ ，那么 $x$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ 或 $\sqrt{3}$ D、 $3$

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2. 海上有 $A ， B$ 两个小岛相距 $10 nmile$ ，从 $A$ 岛望 $C$ 岛和 $B$ 岛，成 $60 °$ 的视角，从 $B$ 岛望 $C$ 岛和 $A$ 岛，成 $75 °$ 的视角，则 $B ， C$ 间的距离为（）

A、 $10 \sqrt{3} nmile$ B、 $\frac{10 \sqrt{6}}{3} nmile$ C、 $5 \sqrt{2} nmile$ D、 $5 \sqrt{6} nmile$

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3. 在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S_△_ABC＝ $\sqrt{3}$ ，则边BC的长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{7}$ D、7

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4. 如图，在塔底 $D$ 的正西方 $A$ 处测得塔顶的仰角为 $45 °$ ，在它的南偏东 $60 °$ 的 $B$ 处测得塔顶的仰角为 $30 °$ ，若 $A 、 B$ 的距离是 $20 \sqrt{7} m$ ，则塔高为（）

A、 $24 m$ B、 $20 m$ C、 $12 \sqrt{7} m$ D、 $36 m$

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5. 某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为 $15 °$ 的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 $60 °$ 和 $30 °$ ，第一排和最后一排的距离为 $10 \sqrt{6} m$ （如图所示），则旗杆的高度为（）

A、 $10 m$ B、 $30 m$ C、 $10 \sqrt{3} m$ D、 $10 \sqrt{6} m$

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6. 如图所示，长为 $4 m$ 的木棒 $A B$ 斜靠在石堤旁，木棒的一端 $A$ 在离堤足 $C$ 处 $2 m$ 的地面上，另一端 $B$ 在离堤足 $C$ 处 $3 m$ 的石堤上，石堤的倾斜角为 $α$ ，则坡度值 $\tan α$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{231}}{5}$ B、 $\frac{5}{16}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $\frac{11}{5}$

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7. 如图所示， $C$ ， $D$ ， $B$ 三点在地面上的同一直线上， $D C = a$ ，从 $C ， D$ 两点测得 $A$ 点的仰角分别为 $β$ ， $α (α > β)$ ，则 $A$ 点离地面的高为（）

A、 $\frac{a \sin α \sin β}{\sin (α - β)}$ B、 $\frac{a \sin α \sin β}{\cos (α - β)}$ C、 $\frac{a \cos α \cos β}{\sin (α - β)}$ D、 $\frac{a \sin α \cos β}{\cos (α - β)}$

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8. 蓝军和红军进行军事演练，蓝军在距离 $\frac{\sqrt{3}}{2} a$ 的军事基地 $C$ 和 $D$ ，测得红军的两支精锐部队分别在 $A$ 处和 $B$ 处，且 $∠ A D B = 30 °$ ， $∠ B D C = 30 °$ ， $∠ D C A = 60 °$ ， $∠ A C B = 45 °$ ，如图所示，则红军这两支精锐部队间的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4} a$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2} a$ C、 $\frac{3}{8} a$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2} a$

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9. 如图，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离(此障碍物阻挡了A，B之间的视线)，给定下列四组数据，测量时应当用数据

A、 $α ， a ， b$ B、 $α ， β ， a$ C、 $a ， b ， γ$ D、 $α ， β ， b$

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10. 某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A，B间的距离为

A、500米 B、600米 C、700米 D、800米

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11. 如图，某工程中要将一长为100 m、倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长

A、100 $\sqrt{2}$ m B、100 $\sqrt{3}$ m C、50( $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ )m D、200 m

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12. 某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果离出发点恰好为 $\sqrt{3}$ km，那么x的值为

A、 $\sqrt{3}$ B、2 $\sqrt{3}$ C、3 D、2 $\sqrt{3}$ 或 $\sqrt{3}$

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13. 三角形的两边长分别为3和5，其夹角 $θ$ 的余弦值是方程 $5 x^{2} - 7 x - 6 = 0$ 的根，则该三角形的面积为

A、6 B、 $\frac{15}{2}$ C、8 D、10

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14. 如图，巡航艇在海上以 $60 km / h$ 的速度沿南偏东 $40 °$ 的方向航行．为了确定巡航艇的位置，巡航艇在B处观测灯塔A，其方向是南偏东 $70 °$ ，航行 $\frac{1}{2} h$ 到达C处，观测灯塔A的方向是北偏东 $65 °$ ，则巡航艇到达C处时，与灯塔A的距离是

A、 $10 km$ B、 $10 \sqrt{2} km$ C、 $15 km$ D、 $15 \sqrt{2} km$

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15. 在 $△ A B C$ 中，已知A=30°，a=8，b=8 $\sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为

A、 $32 \sqrt{3}$ B、16 C、 $32 \sqrt{3}$ 或16 D、 $32 \sqrt{3}$ 或 $16 \sqrt{3}$

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16. 一艘客船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距8 $\sqrt{2}$ 海里，则灯塔S在B处的（）

A、北偏东75° B、北偏东75°或东偏南75° C、东偏南75° D、以上方位都不对

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二、填空题

17. 三角形一边长为 $14$ ，它对的角为 $60 °$ ，另两边之比为 $8 ： 5$ ，则此三角形面积为．

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18. 在相距 $2$ 千米的 $A$ ， $B$ 两点处测量目标点 $C$ ，若 $∠ C A B = 75 °$ ， $∠ C B A = 60 °$ ，则 $A$ ， $C$ 两点之间的距离为千米．

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19. 某舰艇在 $A$ 处测得遇险渔船在北偏东 $45 °$ 方向上的 $C$ 处，且到 $A$ 的距离为 $10$ 海里，此时得知，该渔船沿南偏东 $75 °$ 方向，以每小时 $9$ 海里的速度向一小岛靠近，舰艇的速度为 $21$ 海里/小时，则舰艇到达渔船的最短时间是小时．

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20. 如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C处的仰角为 $α$ =30°，测得乙楼底部D的俯角 $β$ =60°，已知甲楼的高AB=24米，则乙楼的高 $C D =$ 米．

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21. 甲船在岛B的正南A处，AB=10 km，甲船以每小时4 km的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6 km的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是h．

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22. 如图，海中有一小岛B，周围3.8海里内有暗礁．一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北偏东60°．若此舰不改变航行的方向继续前进，则此舰触礁的危险．（填“有”或“没有”）

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23. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 $A$ 处时测得公路北侧一山顶D在西偏北 $30 °$ 的方向上，行驶600 m后到达 $B$ 处，测得此山顶在西偏北 $75 °$ 的方向上，仰角为 $30 °$ ，则此山的高度 $C D =$ m．

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三、解答题

24. 如图，地面上有一旗杆 $O P$ ，为了测量它的高度，在地面上选一条基线 $A B$ ，测得 $A B = 20 m$ ，在 $A$ 处测得点 $P$ 的仰角为 $30 °$ ，在 $B$ 处测得点 $P$ 的仰角为 $45 °$ ，同时可测得 $∠ A O B = 30 °$ ，求旗杆的高度．

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25. 某人在塔 $A B$ 的正东 $C$ 处沿着南偏西 $60 °$ 的方向前进 $40$ 米后到达 $D$ 处，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为 $30 °$ ，求塔高．

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26. 某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶．公路的走向是M站的北偏东40°．开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？

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27. 如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠BCD=75°，
∠ACB=∠BDC=45°，DC = $\sqrt{3}$ ，求：

(1)、AB的长；

(2)、四边形ABCD的面积．

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28. 如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西 $60 °$ 方向的B处，且与岛屿A相距18海里，渔船乙以15海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东 $α$ 的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上，此时到达C处．

(1)、求渔船甲的速度；

(2)、求 $\sin α$ 的值．

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29. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{{(a - b)}^{2} - c^{2}}{3 a b} = - 1$ ．

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = \sqrt{3}, b = \sqrt{2}$ ，求 $B$ 及 $△ A B C$ 的面积．

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三、解答题

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