上海市长宁区2018届九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2018-03-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在Rt $Δ$ ABC中，∠C=90°， $∠ A = α$ ，AC= $3$ ，则AB的长可以表示为（）

A、 $\frac{3}{cos α}$ B、 $\frac{3}{sin α}$ C、 $3 sin α$ D、 $3 cos α$

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2. 如图，在 $Δ$ ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上， $\frac{A B}{A D} = 2$ ，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（）

A、 $\frac{A E}{E C} = \frac{1}{2}$ B、 $\frac{E C}{A C} = 2$ C、 $\frac{D E}{B C} = \frac{1}{2}$ D、 $\frac{A C}{A E} = 2$

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3. 将抛物线 $y = - {(x + 1)}^{2} + 3$ 向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（）

A、 $y = - {(x + 1)}^{2} + 1$ B、 $y = - {(x - 1)}^{2} + 3$ C、 $y = - {(x + 1)}^{2} + 5$ D、 $y = - {(x + 3)}^{2} + 3$

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4. 已知在直角坐标平面内，以点P(-2,3)为圆心，2为半径的圆P与 $x$ 轴的位置关系是（）

A、相离 B、相切 C、相交 D、相离、相切、相交都有可能

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5. 已知 $\overset{⇀}{e}$ 是单位向量，且 $\overset{⇀}{a} = - 2 \overset{⇀}{e}$ ， $\overset{⇀}{b} = 4 \overset{⇀}{e}$ ，那么下列说法错误的是（）

A、 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b}$ B、 $| \overset{⇀}{a} | = 2$ C、 $| \overset{⇀}{b} | = - 2 | \overset{⇀}{a} |$ D、 $\overset{⇀}{a} = - \frac{1}{2} \overset{⇀}{b}$

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6. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC =∠DBC，那么下列结论不一定正确的是（）

A、 $Δ A O D$ ∽ $Δ B O C$ B、 $Δ A O B$ ∽ $Δ D O C$ C、CD=BC D、 $B C \cdot C D = A C \cdot O A$

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二、填空题

7. 若线段a、b满足 $\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{a + b}{b}$ 的值为．

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8. 正八边形的中心角等于度.

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9. 若抛物线 $y = (a - 2) x^{2}$ 的开口向上，则 $a$ 的取值范围是．

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10. 抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 的顶点坐标是．

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11. 已知 $Δ$ ABC与 $Δ$ DEF相似，且 $Δ$ ABC与 $Δ$ DEF的相似比为2:3，若 $Δ$ DEF 的面积为36，则 $Δ$ ABC的面积等于．

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12. 已知线段AB=4，点P是线段AB的黄金分割点，且AP<BP，那么AP的长为．

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13. 若某斜面的坡度为 $1 ： \sqrt{3}$ ，则该坡面的坡角为度．

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14. 已知点A(-2,m)、B(2,n)都在抛物线 $y = x^{2} + 2 x - t$ 上，则m与n的大小关系是m n．（填“>”、“<”或“=”）

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15. 如图，在Rt $Δ$ ABC中，∠BAC=90°，点G是重心，联结AG，过点G作DG//BC，DG交AB于点D，若AB=6，BC=9，则 $Δ$ ADG的周长等于．

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16. 已知⊙ $O_{1}$ 的半径为4，⊙ $O_{2}$ 的半径为R，若⊙ $O_{1}$ 与⊙ $O_{2}$ 相切，且 $O_{1} O_{2} = 10$ ，则R的值为．

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17. 如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点.如图，已知梯形ABCD是等距四边形，AB//CD，点B是等距点. 若BC=10， $cos A = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，则CD的长等于．

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18. 如图，在边长为2的菱形ABCD中， $∠ D = 60 °$ ，点E、F分别在边AB、BC上. 将 $Δ$ BEF沿着直线EF翻折，点B恰好与边AD的中点G重合，则BE的长等于．

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三、解答题

19. 计算： $\frac{cot 45 °}{{4sin}^{2} 45 ° - tan 60^{0}} - cos 30 °$ ．

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20. 如图，在 $Δ$ ABC中，点D在边AB上，DE//BC，DF//AC，DE、DF分别交边AC、BC于点E、F，且 $\frac{A E}{E C} = \frac{3}{2}$ ．

(1)、求 $\frac{B F}{B C}$ 的值；

(2)、联结EF，设 $\overset{⇀}{B C} = \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{A C} = \overset{⇀}{b}$ ，用含 $\overset{⇀}{a}$ 、 $\overset{⇀}{b}$ 的式子表示 $\overset{⇀}{E F}$ ．

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21. 如图，点C在⊙O上，联结CO并延长交弦AB于点D， $\vec{A C} = \vec{B C}$ ，联结AC、OB，若CD=40， $A C = 20 \sqrt{5}$ ．

(1)、求弦AB的长；

(2)、求 $sin ∠ A B O$ 的值．

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22. 如图，一栋居民楼AB的高为16米，远处有一栋商务楼CD，小明在居民楼的楼底A处测得商务楼顶D处的仰角为 $60 °$ ，又在商务楼的楼顶D处测得居民楼的楼顶B处的俯角为 $45 °$ ．其中A、C两点分别位于B、D两点的正下方，且A、C两点在同一水平线上，求商务楼CD的高度．
(参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ .结果精确到0.1米)

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23. 如图，在 $Δ$ ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB=∠CDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且 $A D^{2} = D E \cdot D F$ ．

(1)、求证： $Δ B F D$ ∽ $Δ C A D$ ；

(2)、求证： $B F \cdot D E = A B \cdot A D$ ．

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24. 在直角坐标平面内，直线 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 分别与x轴、y轴交于点A、C. 抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过点A与点C，且与x轴的另一个交点为点B. 点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方．

(1)、求上述抛物线的表达式；

(2)、联结BC、BD，且BD交AC于点E，如果 $Δ$ ABE的面积与 $Δ$ ABC的面积之比为4：5，求∠DBA的余切值；

(3)、过点D作DF⊥AC，垂足为点F，联结CD. 若 $Δ$ CFD与 $Δ$ AOC相似，求点D的坐标．

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25. 已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4. P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F. 联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E.设PD=x，EF=y．

(1)、当点A、P、F在一条直线上时，求 $Δ$ ABF的面积；

(2)、如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；

(3)、联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．

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