上海市青浦区2018届九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2018-03-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 计算 ${(- x^{3})}^{2}$ 的结果是（）

A、﹣ $x^{5}$ B、 $x^{5}$ C、﹣ $x^{6}$ D、 $x^{6}$

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2. 如果一次函数 $y = k x + b$ 的图像经过一、二、三象限，那么 $k$ 、 $b$ 应满足的条件是（）

A、 $k > 0$ ，且 $b > 0$ B、 $k < 0$ ，且 $b < 0$ C、 $k > 0$ ，且 $b < 0$ D、 $k < 0$ ，且 $b > 0$

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3. 下列各式中， $\sqrt{x} - 2$ 的有理化因式是（）

A、 $\sqrt{x + 2}$ B、 $\sqrt{x - 2}$ C、 $\sqrt{x} + 2$ D、 $\sqrt{x} - 2$

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4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD =4，CD=6，那么 $B C ： A C$ 是（）

A、 $3 ： 2$ B、 $2 ： 3$ C、 $3 ： \sqrt{13}$ D、 $2 ： \sqrt{13}$

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5. 如图，在□ABCD中，点E在边AD上，射线CE、BA交于点F，下列等式成立的是（）

A、 $\frac{A E}{E D} = \frac{C E}{E F}$ B、 $\frac{A E}{E D} = \frac{C D}{A F}$ C、 $\frac{A E}{E D} = \frac{F A}{A B}$ D、 $\frac{A E}{E D} = \frac{F E}{F C}$

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6. 在梯形ABCD中，AD//BC，下列条件中，不能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（）

A、 $∠ A B C = ∠ D C B$ B、 $∠ D B C = ∠ A C B$ C、 $∠ D A C = ∠ D B C$ D、 $∠ A C D = ∠ D A C$

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二、填空题

7. 因式分解： $a^{2} + 2 a =$ ．

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8. 函数 $y = \frac{1}{x + 1}$ 的定义域是．

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9. 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x - a = 0$ 没有实数根，那么 $a$ 的取值范围是．

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10. 抛物线 $y = x^{2} + 4$ 的对称轴是．

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11. 将抛物线 $y = - x^{2}$ 平移，使它的顶点移到点P（-2，3），平移后新抛物线的表达式为．

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12. 如果两个相似三角形周长的比是 $2 : 3$ ，那么它们面积的比是．

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13. 如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为 $1 ： \sqrt{3}$ ，把物体从地面A处送到坡顶B处时，物体所经过的路程是12米，此时物体离地面的高度是米．

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14. 如图，在△ABC中，点D是边AB的中点．如果 $\overset{⇀}{C A} = \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{C D} = \overset{⇀}{b}$ ，那么 $\overset{⇀}{C B} =$ （结果用含 $\overset{⇀}{a}$ 、 $\overset{⇀}{b}$ 的式子表示）．

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15. 已知点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，且DE//BC，如果BC=3DE，AC=6，那么AE= ．

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16. 在△ABC中，∠C＝90°，AC=4，点G为△ABC的重心．如果GC=2，那么 $sin ∠ G C B$ 的值是．

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17. 将一个三角形经过放大后得到另一个三角形，如果所得三角形在原三角形的外部，这两个三角形各对应边平行且距离都相等，那么我们把这样的两个三角形叫做“等距三角形”，它们对应边之间的距离叫做“等距”．如果两个等边三角形是“等距三角形”，它们的“等距”是1，那么它们周长的差是．

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18. 如图，在△ABC中，AB=7，AC=6， $∠ A = 45^{\circ}$ ，点D、E分别在边AB、BC上，将△BDE沿着DE所在直线翻折，点B落在点P处，PD、PE分别交边AC于点M、N，如果AD=2，PD⊥AB，垂足为点D，那么MN的长是．

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三、解答题

19. 计算： $\sqrt{27} - {(- 2)}^{0} + | 1 - \sqrt{3} | {+2cos30}^{\circ}$ ．

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20. 解方程： $\frac{1}{x + 2} + \frac{4 x}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x - 2} = 1$ ．

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21. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = k x + b (k \neq 0)$ 与双曲线 $y = \frac{6}{x}$ 相交于点A（ $m$ ，6）和点B（-3， $n$ ），直线AB与 $y$ 轴交于点C．

(1)、求直线AB的表达式；

(2)、求 $A C ： C B$ 的值．

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22. 如图，小明的家在某住宅楼AB的最顶层（AB⊥BC），他家的后面有一建筑物CD（CD // AB），他很想知道这座建筑物的高度，于是在自家阳台的A处测得建筑物CD的底部C的俯角是43°，顶部D的仰角是25°，他又测得两建筑物之间的距离BC是28米，请你帮助小明求出建筑物CD的高度（精确到1米）．
（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47；sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93．）

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23. 如图，已知点D、E分别在△ABC的边AC、BC上，线段BD与AE交于点F，且 $C D \cdot C A = C E \cdot C B$ ．

(1)、求证：∠CAE＝∠CBD；

(2)、若 $\frac{B E}{E C} = \frac{A B}{A C}$ ，求证： $A B \cdot A D = A F \cdot A E$ ．

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24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 与x轴相交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线 $x = 1$ ．

(1)、求点C的坐标（用含a的代数式表示）；

(2)、连接AC、BC，若△ABC的面积为6，求此抛物线的表达式；

(3)、在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，当△CGF为直角三角形时，求点Q的坐标．

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25. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P是边AD上的动点（点P不与点A、点D重合），点Q是边CD上一点，联结PB、PQ，且∠PBC＝∠BPQ．

(1)、当QD＝QC时，求∠ABP的正切值；

(2)、设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式；

(3)、联结BQ，在△PBQ中是否存在度数不变的角，若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由．

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