2015-2016学年湖北省随州市高一下学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-11-14 类型：期末考试

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一、选择题

1. 设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x²﹣4x＞0，x∈R}，则A∩（∁_RB）=（）

A、[1，2] B、[0，2] C、[1，4] D、[0，4]

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2. f（x）= ${\begin{matrix} - \frac{2}{x} ， x < 0 \\ 3 + \log_{2} x ， x > 0 \end{matrix}$ ，则f（f（﹣1））等于（）

A、﹣2 B、2 C、﹣4 D、4

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3. 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称的是（）

A、 $y = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ B、 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ D、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{6})$

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4. $\frac{\sin 47^{0} - \sin 17^{0} \cos 30^{0}}{\cos 17^{0}}$ =（）

A、﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、﹣ $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5. 若向量| $\vec{a}$ |= $\sqrt{2}$ ，| $\vec{b}$ |=2，（ $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ ）⊥ $\vec{a}$ ，则 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的夹角是（）

A、 $\frac{5}{12} π$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{1}{6} π$ D、 $\frac{1}{4} π$

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6. 对于实数a，b，c，下列命题正确的是（）

A、若a＞b，则ac²＞bc² B、若a＜b＜0，则a²＞ab＞b² C、若a＜b＜0，则 $\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$ D、若a＜b＜0，则 $\frac{b}{a} ＞ \frac{a}{b}$

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7. 已知直线l₁：x+2ay﹣1=0，与l₂：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（　　）

A、0或1 B、1或 $\frac{1}{4}$ C、0或 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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8. 直线l：ax+by=0和圆C：x²+y²+ax+by=0在同一坐标系的图形只能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（　　）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不确定

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10. 已知数{a_n}满a₁=0，a_n+1=a_n+2n，那a₂₀₁₆的值是（　　）

A、2014×2015 B、2015×2016 C、2014×2016 D、2015×2015

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11. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中点，若E是AB的中点，P是△ABC（包括边界）内任一点．则 $\vec{A D} \cdot \vec{E P}$ 的取值范围是（）

A、[﹣6，6] B、[﹣9，9] C、[0，8] D、[﹣2，6]

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12. 已知过点P（4，1）的直线分别交x，y坐标轴于A，B两点，O为坐标原点，若△ABO的面积为8，则这样的直线有（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、填空题

13. 在△ABC中．若b=5， $∠ B = \frac{π}{4}$ ，sinA= $\frac{1}{3}$ ，则a= ．

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14. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是．

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15. 设不等式组 ${\begin{matrix} 2 x + y - 6 \leq 0 \\ x + y - 3 \geq 0 \\ y \leq 2 \end{matrix}$ 表示的平面区域为M，若函数y=k（x+1）+1的图象经过区域M，则实数k的取值范围是．

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16. 若函数 $f (x) = | x | + \sqrt{a - x^{2}} - \sqrt{2}$ （a＞0）没有零点，则a的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知 $\vec{m}$ =（ $\sqrt{3}$ sinx，2）， $\vec{n}$ =（2cosx，cos²x），函数f（x）= $\vec{m} \cdot \vec{n}$ ，

(1)、求函数f（x）的值域；

(2)、在△ABC中，角A，B，C和边a，b，c满足a=2，f（A）=2，sinB=2sinC，求边c．

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18. 已知直线l₁经过点A（﹣3，0），B（3，2），直线l₂经过点B，且l₁⊥l₂ ．

(1)、求经过点B且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；

(2)、设直线l₂与直线y=8x的交点为C，求△ABC外接圆的方程．

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19. 已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n ，且a_n和S_n满足：4S_n=（a_n+1）²（n=1，2，3…），

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、设b_n= $\frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求{b_n}的前n项和T_n ．

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20. 某厂家拟在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足x=3﹣ $\frac{k}{m + 1}$ （k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．

(1)、将2010年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)、该厂家2010年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．

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21. 已知数列{a_n}是首项为a₁= $\frac{1}{4}$ ，公比q= $\frac{1}{4}$ 的等比数列，设b_n+2=3 $\log_{\frac{1}{4}}$ a_n（n∈N^*），数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n ．

(1)、求证：{b_n}是等差数列；

(2)、求数列{c_n}的前n项和S_n；

(3)、若c_n≤ $\frac{1}{4} m^{2}$ +m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

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22. 已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心C在直线y=x上，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．

(1)、求圆C的方程；

(2)、若 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q}$ =﹣2，求实数k的值；

(3)、过点（0，4）作动直线m交圆C于E，F两点．试问：在以EF为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点M（2，0）？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．

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