难点十解析几何中的定值、定点和定线问题

试卷更新日期：2018-03-06 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 已知双曲线y²﹣ $\frac{x^{2}}{2}$ =1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k₁ ，直线OP的斜率为k₂ ，则k₁k₂=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、﹣ $\frac{1}{2}$ C、2 D、﹣2

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2.
如图，A₁ ， A₂为椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于A₁ ， A₂的三点，直线QA₁ ， QA₂ ， OS，OT围成一个平行四边形OPQR，则|OS|²+|OT|²=（）

A、14 B、12 C、9 D、7

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3. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{3 m^{2}} + \frac{y^{2}}{5 n^{2}} = 1$ 和双曲线 $\frac{x^{2}}{2 m^{2}} - \frac{y^{2}}{3 n^{2}} = 1$ 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )

A、 $x = \pm \frac{\sqrt{15}}{2} y$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{15}}{2} x$ C、 $x = \pm \frac{\sqrt{3}}{4} y$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{4} x$

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4. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左，右焦点分别为F₁ ， F₂ ，双曲线的离心率为e，若双曲线上一点P使 $\frac{\sin ∠ P F_{2} F_{1}}{\sin ∠ P F_{1} F_{2}} = e$ ，则 $\vec{F_{2} P} \cdot \vec{F_{2} F_{1}}$ 的值为（）

A、3 B、2 C、﹣3 D、﹣2

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5. 若m，n满足m+2n﹣1=0，则直线mx+3y+n=0过定点（）

A、 $(\frac{1}{2} ， \frac{1}{6})$ B、 $(\frac{1}{2} ， - \frac{1}{6})$ C、 $(\frac{1}{6} ， - \frac{1}{2})$ D、 $(- \frac{1}{6} ， \frac{1}{2})$

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6. 已知点P是双曲线 $\frac{x^{2}}{4}$ ﹣y²=1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ （）

A、﹣ $\frac{12}{25}$ B、 $\frac{12}{25}$ C、﹣ $\frac{24}{25}$ D、﹣ $\frac{4}{5}$

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二、填空题

7. 已知直线y= $\frac{1}{2}$ x与双曲线 $\frac{x^{2}}{9}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{4}$ =1交于A、B两点，P为双曲线上不同于A、B的点，当直线PA、PB的斜率k_PA ， k_PB存在时，k_PA•k_PB= ．

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三、解答题

8. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，焦距为2 $\sqrt{2}$ ，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若AB垂直于x轴，求直线MB的斜率。

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9. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $e = \frac{1}{2}$ ，左右焦点分别为F₁ ， F₂ ，以椭圆短轴为直径的圆与直线 $x - y + \sqrt{6} = 0$ 相切．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点F₁、斜率为k₁的直线l₁与椭圆E交于A，B两点，过点F₂、斜率为k₂的直线l₂与椭圆E交于C，D两点，且直线l₁ ， l₂相交于点P，若直线OA，OB，OC，OD的斜率k_OA ， k_OB ， k_OC ， k_OD满足k_OA+k_OB=k_OC+k_OD ，求证：动点P在定椭圆上，并求出此椭圆方程．

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10. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过E的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于A，B两点，|AB|=2．

（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过点P（0， $\sqrt{3}$ ）的动直线l与椭圆E交于的两点M，N（不是的椭圆顶点），是否存在实数λ，使 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ +λ $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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11. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，离心率为 $\frac{1}{2}$ ， $M$ ， $N$ 分别是椭圆的上、下顶点， $\vec{M F_{2}} \cdot \vec{N F_{2}} = - 2$ ．

（Ⅰ）求椭圆 $E$ 的方程；
（Ⅱ）过 $M$ （0,2）作直线 $l$ 与 $E$ 交于 $A, B$ 两点，求三角形 $A O B$ 面积的最大值（ $O$ 是坐标原点）．

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12.
已知直线l经过抛物线x²=4y的焦点，且与抛物线交于A，B两点，点O为坐标原点．
（1）求抛物线准线方程；
（2）若△AOB的面积为4，求直线l的方程．

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13. 已知椭圆C₁： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为e= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点（1， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ）．抛物线C₂：x²=﹣2py（p＞0）的焦点坐标为（0，﹣ $\frac{1}{2}$ ）．
（Ⅰ）求椭圆C₁和抛物线C₂的方程；
（Ⅱ）若点M是直线l：2x﹣4y+3=0上的动点，过点M作抛物线C₂的两条切线，切点分别为A，B，直线AB交椭圆C₁于P，Q两点．
（i）求证直线AB过定点，并求出该定点坐标；
（ii）当△OPQ的面积取最大值时，求直线AB的方程．

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14. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）经过点（﹣1， $\frac{3}{2}$ ），其离心率e= $\frac{1}{2}$ ．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆C相切，切点为T，且l与直线x=﹣4相交于点S．
试问：在x轴上是否存在一定点，使得以ST为直径的圆恒过该定点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．

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四、综合题

15. 如图所示，已知圆A的圆心在直线y=﹣2x上，且该圆存在两点关于直线x+y﹣1=0对称，又圆A与直线l₁：x+2y+7=0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l₁相交于点P．

(1)、求圆A的方程；

(2)、当 $| M N | = 2 \sqrt{19}$ 时，求直线l的方程；

(3)、（ $\vec{B M}$ + $\vec{B N}$ ）• $\vec{B P}$ 是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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