北京市通州区2018届九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2018-03-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若反比例函数的图象经过点 $(3, - 2)$ ，则该反比例函数的表达式为（）

A、 $y = \frac{6}{x}$ B、 $y = - \frac{6}{x}$ C、 $y = \frac{3}{x}$ D、 $y = - \frac{3}{x}$

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2. 已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $π$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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3. 如图：为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点距离6m，与树相距15m，那么这棵的高度为（）

A、5米 B、7米 C、7.5米 D、21米

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4. 如图， $A B$ 是⊙ $O$ 的直径，点 $C$ ， $D$ 在⊙ $O$ 上.若 $∠ A B D = 55 °$ ，则 $∠ B C D$ 的度数为（）

A、 $25 °$ B、 $30 °$ C、 $35 °$ D、 $40 °$

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5. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示， $Δ = b^{2} - 4 a c$ ，则下列四个选项正确的是（）

A、 $b < 0$ ， $c < 0$ ， $Δ > 0$ B、 $b > 0$ ， $c < 0$ ， $Δ > 0$ C、 $b > 0$ ， $c < 0$ ， $Δ < 0$ D、 $b < 0$ ， $c > 0$ ， $Δ < 0$

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6. 如图，⊙ $O$ 的半径为4.将⊙ $O$ 的一部分沿着弦 $A B$ 翻折，劣弧恰好经过圆心 $O$ .则折痕AB的长为（）

A、 $3$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $6$ D、 $4 \sqrt{3}$

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7. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在小正方形的顶点上.则 $cos ∠ A$ 的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $2$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = A C = 4$ .点 $E$ 为 $R t △ A B C$ 边上一点，以每秒1单位的速度从点 $C$ 出发，沿着 $C \to A \to B$ 的路径运动到点 $B$ 为止.连接 $C E$ ，以点 $C$ 为圆心， $C E$ 长为半径作⊙ $C$ ，⊙ $C$ 与线段 $B C$ 交于点 $D$ .设扇形 $D C E$ 面积为 $S$ ，点 $E$ 的运动时间为 $t$ .则在以下四个函数图象中，最符合扇形面积 $S$ 关于运动时间 $t$ 的变化趋势的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 请你写出一个顶点在 $x$ 轴上的二次函数表达式.

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10. 已知点 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ 在反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 上，当 $y_{1} < y_{2} < 0$ 时， $x_{1}$ ， $x_{2}$ 的大小关系是.

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11. 如图，角 $α$ 的一边在 $x$ 轴上，另一边为射线 $O P$ .则 $tan α =$ .

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12. 如图，点 $D$ 为 $△ A B C$ 的 $A B$ 边上一点， $A D = 2$ ， $D B = 3$ .若 $∠ B = ∠ A C D$ ，则 $A C =$ .

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13. 如图， $A D$ ， $A E$ 是正六边形的两条对角线.在不添加任何其他线段的情况下，请写出两个关于图中角度的正确结论：

(1)、；

(2)、.

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14. 二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示，由图象可知，不等式 $- x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为.

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15. ⊙ $O$ 的半径为1，其内接 $△ A B C$ 的边 $A B = \sqrt{2}$ ，则 $∠ C$ 的度数为.

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16. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作已知角的角平分线．
已知：如图，已知 $∠ B A C$ .
求作： $∠ B A C$ 的角平分线 $A P$ .
小霞的作法如下：
①如图，在平面内任取一点 $O$ ；
②以点 $O$ 为圆心， $A O$ 为半径作圆，交射线 $A B$ 于点 $D$ ，交射线 $A C$ 于点 $E$ ；
③连接 $D E$ ，过点 $O$ 作射线 $O P$ 垂直线段 $D E$ ，交⊙ $O$ 于点 $P$ ；
④连接 $A P$ .

所以射线 $A P$ 为所求.
老师说：“小霞的作法正确．”
请回答：小霞的作图依据是．

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三、解答题

17. 计算： $cos 30 ° \cdot tan 60 ° - 4 sin 30 ° + tan 45 °$ ．

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18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 交于点 $A (- \frac{3}{2} ， - 2)$ ， $B (1 ， a)$ ．

(1)、分别求出反比例函数和一次函数的表达式；

(2)、根据函数图象，直接写出不等式 $k x + b > \frac{m}{x}$ 的解集．

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19. 如图， $△ A B C$ 内接于⊙ $O$ .若⊙ $O$ 的半径为6， $∠ B = 60 °$ ，求 $A C$ 的长．

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20. 如图，建筑物的高 $C D$ 为17. 32米.在其楼顶 $C$ ，测得旗杆底部 $B$ 的俯角 $α$ 为 $60 °$ ，旗杆顶部 $A$ 的仰角 $β$ 为 $20 °$ ，请你计算旗杆的高度.（ $sin 20 ° \approx 0.342$ ， $tan 20 ° \approx 0.364$ ， $cos 20 ° \approx 0.940$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，结果精确到0.1米）

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21. 如图，李师傅想用长为80米的栅栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动区 $A B C D$ . 已知教学楼外墙长50米，设矩形 $A B C D$ 的边 $A B = x$ 米，面积为 $S$ 平方米.

(1)、请写出活动区面积 $S$ 与 $x$ 之间的关系式，并指出 $x$ 的取值范围；

(2)、当 $A B$ 为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？

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22. 如图， $△ A B C$ 是等腰三角形， $A B = A C$ ，以 $A C$ 为直径的⊙ $O$ 与 $B C$ 交于点 $D$ ， $D E ⊥ A B$ ，垂足为 $E$ ， $E D$ 的延长线与 $A C$ 的延长线交于点 $F$ ．

(1)、求证： $D E$ 是⊙ $O$ 的切线；

(2)、若⊙ $O$ 的半径为2， $B E = 1$ ，求 $cos A$ 的值．

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23. 如图1，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为 $A D$ 边中点，点 $F$ 为 $B C$ 边中点；点 $G$ ， $H$ 为 $A B$ 边三等分点， $I$ ， $J$ 为 $C D$ 边三等分点.小瑞分别用不同的方式连接矩形对边上的点，如图2，图3所示.那么，图2中四边形 $G K L H$ 的面积与图3中四边形 $K P O L$ 的面积相等吗？

(1)、小瑞的探究过程如下
在图2中，小瑞发现， $S_{G K L H} =$ $S_{A B C D}$ ；在图3中，小瑞对四边形 $K P O L$ 面积的探究如下. 请你将小瑞的思路填写完整：
设 $S_{△ D E P} = a$ ， $S_{△ A K G} = b$
∵ $E C ∥ A F$
∴ $△ D E P ∽ △ D A K$ ，且相似比为 $1 ： 2$ ，得到 $S_{△ D A K} = 4 a$
∵ $G D ∥ B I$
∴ $△ A G K ∽ △ A B M$ ，且相似比为 $1 ： 3$ ，得到 $S_{△ A B M} = 9 b$
又∵ $S_{△ D A G} = 4 a + b = \frac{1}{6} S_{A B C D}$ ， $S_{△ A B F} = 9 b + a = \frac{1}{4} S_{A B C D}$
∴ $S_{A B C D} = 24 a + 6 b = 36 b + 4 a$
∴a= b， $S_{A B C D} =$ $b$ ， $S_{K P O L} =$ b
∴ $S_{K P O L} =$ $S_{A B C D}$ ，则 $S_{K P O L}$ $S_{G K L H}$ （填写“ $>$ ”，“ $<$ ”或“ $=$ ”）

(2)、小瑞又按照图4的方式连接矩形 $A B C D$ 对边上的点.则 $S_{A N M L} =$ $S_{A B C D}$

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24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + 1 (a > 0)$ 的对称轴为 $x = b$ ．点 $A (- 2 ， m)$ 在直线 $y = - x + 3$ 上.

(1)、求 $m$ ， $b$ 的值；

(2)、若点 $D (3 ， 2)$ 在二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + 1 (a > 0)$ 上，求 $a$ 的值；

(3)、当二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + 1 (a > 0)$ 与直线 $y = - x + 3$ 相交于两点时，设左侧的交点为 $P (x_{1} ， y_{1})$ ，若 $- 3 < x_{1} < - 1$ ，求 $a$ 的取值范围．

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25. 点 $P$ 的“ $d$ 值”定义如下：若点 $Q$ 为圆上任意一点，线段 $P Q$ 长度的最大值与最小值之差即为点 $P$ 的“ $d$ 值”，记为 $d_{P}$ .特别的，当点 $P$ ， $Q$ 重合时，线段 $P Q$ 的长度为0.
当⊙ $O$ 的半径为2时：

(1)、若点 $C (- \frac{1}{2} ， 0)$ ， $D (3 ， 4)$ ，则 $d_{C} =$ ， $d_{D} =$ ；

(2)、若在直线 $y = 2 x + 2$ 上存在点 $P$ ，使得 $d_{P} = 2$ ，求出点 $P$ 的横坐标；

(3)、直线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + b (b > 0)$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ .若线段 $A B$ 上存在点 $P$ ，使得 $2 \leq d_{P} < 3$ ，请你直接写出 $b$ 的取值范围.

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