北京市丰台区2018届九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2018-03-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如果 $3 a = 2 b$ ( $a b \neq 0$ ），那么下列比例式中正确的是（）

A、 $\frac{a}{b} = \frac{3}{2}$ B、 $\frac{b}{a} = \frac{2}{3}$ C、 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3}$ D、 $\frac{a}{3} = \frac{b}{2}$

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2. 将抛物线y = x²向上平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为（）

A、 $y = x^{2} + 2$ B、 $y = x^{2} - 2$ C、 $y = {(x + 2)}^{2}$ D、 $y = {(x - 2)}^{2}$

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3. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 5，BC = 3，则tanA的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{3}$

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4. “黄金分割”是一条举世公认的美学定律. 例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐. 目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版. 要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置（）

A、① B、② C、③ D、④

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5. 如图，点A为函数 $y = \frac{k}{x}$ （x > 0）图象上的一点，过点A作x轴的平行线交 $y$ 轴于点B，连接OA，如果△AOB的面积为2，那么k的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，A，B是⊙O上的两点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点. 如果∠AOB=140°，那么∠ACB的度数为（）

A、70° B、110° C、140° D、70°或110°

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8. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x
…
$- 1$
0
1
2
3
…
y
…
3
0
$- 1$
m
3
…
有以下几个结论：
①抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的开口向下；②抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴为直线 $x = - 1$ ；③方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根为0和2；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2.其中正确的是（）

A、①④ B、②④ C、②③ D、③④

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二、填空题

9. 如果sinα = $\frac{1}{2}$ ，那么锐角α =.

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10. 半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为.

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11. 如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播.现将图1抽象为图2，其中线段AB为蜡烛的火焰，线段A＇B＇为其倒立的像. 如果蜡烛火焰AB的高度为2cm，倒立的像A＇B＇的高度为5cm，点O到AB的距离为4cm，那么点O到A＇B＇的距离为 cm.

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12. 如图，等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径OA的长为2，则其内切圆半径的长为.

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13. 已知函数的图象经过点（2，1），且与x轴没有交点，写出一个满足题意的函数的表达式.

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14. 在平面直角坐标系中，过三点A（0，0），B（2，2），C（4，0）的圆的圆心坐标为.

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15. 在北京市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地. 如图，自建房占地是边长为8m的正方形ABCD，改建的绿地是矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG = 2BE. 如果设BE的长为x（单位：m），绿地AEFG的面积为y（单位：m²），那么y与x的函数的表达式为；当BE =m时，绿地AEFG的面积最大.

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16. 下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.
已知：⊙o和⊙O外一点P
求作：过点P的⊙O的切线。
作法：如图，
①连接OP；
②分别以点和点P为心，大于OP的长为半轻作孤，两弧相交于M，N两点
③作直线MN，交OP于点C
④以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点
⑤作直线PA，PB直线PA，PB即为所求作⊙O的切线

请回答以下问题：

(1)、连接OA，OB，可证∠OAP =∠OBP = 90°，理由是；

(2)、直线PA，PB是⊙O的切线，依据是．

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三、解答题

17. 计算： $2 cos 30 ° + sin 45 ° - tan 60 °$ .

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18. 如图，△ABC中，DE∥BC，如果AD = 2，DB = 3，AE = 4，求AC的长.

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19. 已知二次函数y = x²- 4x + 3．

(1)、用配方法将y = x²- 4x + 3化成y = a(x- h)²+ k的形式；

(2)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中画出该函数的图象；

(3)、当0≤x≤3时，y的取值范围是.

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20. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE = 1寸，CD = 10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题.

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = x + 1$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 的一个交点为P(m，2).

(1)、求k的值；

(2)、M（2，a），N（n，b）是双曲线上的两点，直接写出当a > b时，n的取值范围.

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22. 在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度. 方法如下：如图，首先在测量点A处用高为1.5m的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为35°，然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为45°，最后测量出A，B两点间的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E. 请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN的高度.
（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）

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23. 如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线. 如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，求水流的落地点C到水枪底部B的距离.

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24. 如图， $A B$ 是⊙O的直径，点 $C$ 是 $\hat{A B}$ 的中点，连接 $A C$ 并延长至点 $D$ ，使 $C D = A C$ ，点 $E$ 是 $O B$ 上一点，且 $\frac{O E}{E B} = \frac{2}{3}$ ， $C E$ 的延长线交 $D B$ 的延长线于点 $F$ ， $A F$ 交⊙O于点 $H$ ，连接 $B H$ .

(1)、求证： $B D$ 是⊙O的切线；

(2)、当 $O B = 2$ 时，求 $B H$ 的长.

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25. 如图，点E是矩形ABCD边AB上一动点（不与点B重合），过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF．已知AB = 4cm，AD = 2cm，设A，E两点间的距离为xcm，△DEF面积为ycm² ．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小明的探究过程，请补充完整：

(1)、确定自变量x的取值范围是；

(2)、通过取点、画图、测量、分析，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
…
y/cm²
4.0
3.7
3.9
3.8
3.3
2.0
…
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）

(3)、建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

(4)、结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF面积最大时，AE的长度为cm．

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26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过点（2，3），对称轴为直线x =1.

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如果垂直于y轴的直线l与抛物线交于两点A（ $x_{1}$ ， $y_{1}$ ），B（ $x_{2}$ ， $y_{2}$ ），其中 $x_{1} < 0$ ， $x_{2} > 0$ ，与y轴交于点C，求BC $-$ AC的值；

(3)、将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x轴上，原抛物线上一点P平移后对应点为点Q，如果OP=OQ，直接写出点Q的坐标.

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27. 如图，∠BAD=90°，AB=AD，CB=CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC.

(1)、在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA=∠ECA时，如图1，求证：AE=AF；

(2)、在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B=30°，CB=2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明.

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28. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：如果⊙C的半径为r，⊙C外一点P到⊙C的切线长小于或等于2r，那么点P叫做⊙C的“离心点”.

(1)、当⊙O的半径为1时，
①在点P₁（ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ），P₂（0，－2），P₃（ $\sqrt{5}$ ，0）中，⊙O的“离心点”是；
②点P（m，n）在直线 y = − x + 3 上，且点P是⊙O的“离心点”，求点P横坐标m的取值范围；

(2)、⊙C的圆心C在y轴上，半径为2，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 1$ 与x轴、y轴分别交于点A，B.如果线段AB上的所有点都是⊙C的“离心点”，请直接写出圆心C纵坐标的取值范围.

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x	…	$- 1$	0	1	2	3	…
y	…	3	0	$- 1$	m	3	…

x/cm	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	…
y/cm²	4.0	3.7		3.9		3.8	3.3	2.0	…