2015-2016学年浙江省舟山市普陀三中高三上学期期中数学试卷（文科）

试卷更新日期：2016-11-14 类型：期中考试

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一、选择题

1. 设全集U=R，集合 $M = {x | | x - \frac{1}{2} | \leq \frac{5}{2}}$ ，P={x|﹣1≤x≤4}，则（∁_UM）∩P等于（）

A、{x|﹣4≤x≤﹣2} B、{x|﹣1≤x≤3} C、{x|3≤x≤4} D、{x|3＜x≤4}

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2. 下列函数既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）

A、y=﹣x² B、y=x³ C、y=log₂x D、y=﹣3^﹣^x

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3. 设命题P：∃n∈N，n²＞2ⁿ ，则￢P为（）

A、∀n∈N，n²＞2ⁿ B、∃n∈N，n²≤2ⁿ C、∀n∈N，n²≤2ⁿ D、∃n∈N，n²=2ⁿ

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4. 已知等差数列{a_n}的公差为2，若a₁ ， a₃ ， a₄成等比数列，则a₂=（）

A、﹣4 B、﹣6 C、﹣8 D、﹣10

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5. 设函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（|φ|＜ $\frac{π}{2}$ ）为偶函数，则φ=（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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6. 设a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面．下列命题中，正确的是（）

A、若a、b与α所成的角相等，则a∥b B、若α⊥β，m∥α，则m⊥β C、若a⊥α，a∥β，则α⊥β D、若a∥α，b∥β，则a∥b

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（）

A、2x±y=0 B、x±2y=0 C、4x±3y=0 D、3x±4y=0

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8. 长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面是边长为a的正方形，若在侧棱AA₁上至少存在一点E，使得∠C₁EB=90°，则侧棱AA₁的长的最小值为（）

A、a B、2a C、3a D、4a

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二、填空题

9. ${(- 8)}^{\frac{2}{3}}$ = ， $2^{\log_{2} 3}$ = ．

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10. 已知函数f（x）=2sin（ωx+ $\frac{π}{6}$ ）（ω＞0）的最小正周期为π，则ω= ， f（ $\frac{π}{3}$ ）= ，在（0，π）内满足f（x₀）=2的x₀= ．

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11. 某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V=cm³ ，表面积S=cm² ．

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12. 直线y=x﹣2，直线被椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2}$ =1截得的弦长是．

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13. 已知函数f（x）= $\frac{x^{2} - 4 x + 5}{x}$ （x＞0），当且仅当x=时，f（x）取到最小值为．

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14. 已知x＞0，y＞0且2x+y=2，则 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 的最小值为．

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15. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，且a₄﹣a₂=8，a₃+a₅=26．记T_n= $\frac{s_{n}}{n^{2}}$ ，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，T_n≤M都成立，则M的最小值是．

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三、解答题

16. 已知向量 $\vec{m}$ =（cosα，1﹣sinα）， $\vec{n}$ =（﹣cosα，sinα）（α∈R）．

(1)、若 $\vec{m}$ ⊥ $\vec{n}$ ，求角α的值；

(2)、若| $\vec{m}$ ﹣ $\vec{n}$ |= $\sqrt{3}$ ，求cos2α的值．

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17. 设等差数列{a_n}的前n项的和为S_n ，已知a₁=1， $\frac{s_{2}}{2} + \frac{s_{3}}{3} + \frac{s_{4}}{4}$ =12．

(1)、求{a_n}的通项公式a_n；

(2)、b_n= $\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，b_n的前n项和T_n ，求证；T_n＜ $\frac{1}{3}$ ．

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18. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．

(1)、证明PA∥平面BDE；

(2)、证明：DE⊥面PBC；

(3)、求直线AB与平面PBC所成角的大小．

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19. 已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、设直线y=kx+b与抛物线C交于A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂），且|y₁﹣y₂|=2，过弦AB中点M作平行于x轴的直线交抛物线于点D，求△ABD的面积．

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20. 已知函数f（x）=ax²+（b﹣1）x+1（a，b∈R，a＞0）．

(1)、若f（1）=0，且对任意x∈R，都有f（2﹣x）=f（2+x），求f（x）的解析式；

(2)、已知x₁ ， x₂为函数f（x）的两个零点，且x₂﹣x₁=2，当x∈（x₁ ， x₂）时，g（x）=﹣f（x）+2（x₂﹣x）的最大值为，当a≥2时，求h（a）的最小值．

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