北京市东城区2017—2018学年八年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2018-03-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司,将0.056用科学记数法表示为（）

A、 $5 .6 \times 10^{-1}$ B、 $5 .6 \times 10^{-2}$ C、 $5 .6 \times 10^{-3}$ D、 $0 .56 \times 10^{-1}$

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2. 江永女书诞生于宋朝，是世界上唯一一种女性文字，主要书写在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现象．下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列式子为最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{{(a + b)}^{2}}$ B、 $\sqrt{12 a}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$

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4. 若分式 $\frac{x - 2}{x + 3}$ 的值为0，则 $x$ 的值等于（）

A、0 B、2 C、3 D、-3

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $b^{5} \div b^{3} = b^{2}$ B、 ${(b^{5})}^{2} = b^{7}$ C、 $b^{2} \cdot b^{4} = b^{8}$ D、 $a \cdot （ a - 2 b ） = a^{2} + 2 a b$

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6. 如图，在△ABC中，∠B=∠C=60，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E ，若BE=1，则AC的长为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{3}$

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7.
如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（　　）

A、SAS B、ASA C、AAS D、SSS

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8. 如图，根据计算长方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（）

A、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ B、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ C、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ D、 $a (a + b) = a^{2} + a b$

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9. 如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）

A、AE=EC B、AE=BE C、∠EBC=∠BAC D、∠EBC=∠ABE

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10. 如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）

A、140° B、100° C、50° D、40°

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11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P$ （2，1）关于y轴对称的点的坐标是．

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二、填空题

12. 如果式子 $\sqrt{x - 1}$ 在实数范围内有意义，那么x的取值范围是．

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13. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知BF=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件，使得△ABC≌△DEF．

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14. 等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则其周长是．

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15. 如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE ， ∠EAC＝40°，则∠B 的度数为．

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16. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC ， BC=10cm，BD：DC=3：2，则点D到AB的距离cm．

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17. 如果实数 $a, b$ 满足 $a + b = 6, a b = 8, 那么 a^{2} + b^{2} =$ ；

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18. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作一条线段的垂直平分线
已知：线段AB
求作：线段AB的垂直平分线
小红的作法如下：
如图，
①分别以点A和点B为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ AB的长为半径作弧，两弧相交于点C；
②再分别以点A和点B为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ AB的长为半径(不同于①中的半径)作弧，两弧相交于点D，使点D与点C在直线
AB的同侧；
③作直线CD，所以直线CD就是所求作的垂直平分线
老师说：“小红的作法正确．”
请回答：小红的作图依据是．

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三、解答题

19. 计算： $| - \sqrt{3} | + \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - {(\sqrt{2} - 1)}^{0}$

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20. 因式分解：

(1)、 $x^{2} - 4$

(2)、 $a x^{2} - 4 a x y + 4 a y^{2}$

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21. 如图，点E ， F在线段AB上，且AD＝BC ， ∠A＝∠B ， AE＝BF.求证：DF=CE.

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22. 已知 $x^{2} + x = 2$ ，求 ${(x + 2)}^{2} - x (x + 3) + (x + 1) (x - 1)$ 的值

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23. 解分式方程： $\frac{1}{x -2} + 2 = \frac{1+ x}{2- x}$ ．

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24. 先化简，再求值： $(1 - \frac{5}{x + 2}) \div \frac{x^{2} - 9}{x + 3}$ ，其中 $x = \sqrt{3} - 2$ ．

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25. 北京第一条地铁线路于1971年1月15日正式开通运营.截至2017年1月，北京地铁共有19条运营线路，覆盖北京市11个辖区.据统计，2017 年地铁每小时客运量是2002年地铁每小时客运量的4倍，2017年客运240万人所用的时间比2002年客运240万人所用的时间少30小时，求2017年地铁每小时的客运量？

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26. 如图，在△ABC中，AB ＝AC ， AD⊥BC于点D ， AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．

(1)、求证：AM∥BC；

(2)、若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．

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27. 定义：任意两个数 $a, b$ ，按规则 $c = a b + a + b$ 扩充得到一个新数 $c$ ，称所得的新数 $c$ 为“如意数”.

(1)、若 $a = \sqrt{2}, b = 1,$ 直接写出 $a, b$ 的“如意数” $c$ ；

(2)、如果 $a = m - 4, b = - m$ ,求 $a, b$ 的“如意数” $c$ ，并证明“如意数” $c \leq 0$ ；

(3)、已知 $a = x^{2} - 1 (x \neq 0)$ ，且 $a, b$ 的“如意数” $c = x^{3} + 3 x^{2} - 1,$ ，则 $b =$ (用含 $x$ 的式子表示)

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28. 如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E.

(1)、依题意补全图形；

(2)、若∠PAC＝20°，求∠AEB的度数；

(3)、连结CE，写出AE， BE， CE之间的数量关系，并证明你的结论．

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