2015-2016学年湖南省娄底市高三下学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-11-14 类型：期中考试

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一、选择题

1. 若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则 $\bar{z}$ =（）

A、2﹣3i B、2+3i C、3+2i D、3﹣2i

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2. 设集合M={x|x²=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（　　）

A、[0，1] B、（0，1] C、[0，1） D、（﹣∞，1]

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3. 设a、b都是不等于1的正数，则“3^a＞3^b＞3”是“log_a3＜log_b3”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 要得到函数y=sin（4x﹣ $\frac{π}{3}$ ）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{12}$ 单位 B、向右平移 $\frac{π}{12}$ 单位 C、向左平移 $\frac{π}{3}$ 单位 D、向右平移 $\frac{π}{3}$ 单位

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5. 命题“∀n∈N^* ， f（n）∈N^*且f（n）≤n”的否定形式是（　　）

A、∀n∈N^* ， f（n）∉N^*且f（n）＞n B、∀n∈N^* ， f（n）∉N^*或f（n）＞n C、∃n₀∈N^* ， f（n₀）∉N^*且f（n₀）＞n₀ D、∃n₀∈N^* ， f（n₀）∉N^*或f（n₀）＞n₀

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6. 设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）

A、奇函数，且在（0，1）上是增函数 B、奇函数，且在（0，1）上是减函数 C、偶函数，且在（0，1）上是增函数 D、偶函数，且在（0，1）上是减函数

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7. 设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）

A、（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B、（﹣1，0）∪（1，+∞） C、（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D、（0，1）∪（1，+∞）

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8. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x= $\frac{2 π}{3}$ 时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）

A、f（2）＜f（﹣2）＜f（0） B、f（0）＜f（2）＜f（﹣2） C、f（﹣2）＜f（0）＜f（2） D、f（2）＜f（0）＜f（﹣2）

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9. 已知 $\vec{A B} ⊥ \vec{A C} ， | \vec{A B} | = \frac{1}{t} ， | \vec{A C} | = t$ ，若P点是△ABC所在平面内一点，且 $\vec{A P} = \frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{4 \vec{A C}}{| \vec{A C} |}$ ，则 $\vec{P B} \cdot \vec{P C}$ 的最大值等于（）

A、13 B、15 C、19 D、21

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10. 若a，b是函数f（x）=x²﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（　　）

A、6 B、7 C、8 D、9

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11. 设函数f（x）= ${\begin{matrix} 3 x - 1 ， x < 1 \\ 2^{x} ， x \geq 1 \end{matrix}$ ，则满足f（f（a））=2^f^（^a^）的a的取值范围是（）

A、[ $\frac{2}{3}$ ，1] B、[0，1] C、[ $\frac{2}{3}$ ，+∞） D、[1，+∞）

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12. 若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）

A、 $f (\frac{1}{k}) ＞ \frac{1}{k}$ B、 $f (\frac{1}{k}) ＞ \frac{1}{k - 1}$ C、 $f (\frac{1}{k - 1}) ＜ \frac{1}{k - 1}$ D、 $f (\frac{1}{k - 1}) ＞ \frac{1}{k - 1}$

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二、填空题

13. 已知tanα=﹣2，tan（α+β）= $\frac{1}{7}$ ，则tanβ的值为．

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14. 在等差数列{a_n}中，若a₃+a₄+a₅+a₆+a₇=25，则a₂+a₈= ．

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15. 若非零向量f（x）满足| $\vec{a}$ |= $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ | $\vec{b}$ |，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ (3 \vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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16. 曲线y=x²与y=x所围成的封闭图形的面积为．

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三、解答题

17. 已知向量 $\vec{m}$ =（1，3cosα）， $\vec{n}$ =（1，4tanα）， $α \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ ，且 $\vec{m} \cdot \vec{n}$ =5．

(1)、求| $\vec{m}$ + $\vec{n}$ |；

(2)、设向量 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角为β，求tan（α+β）的值．

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18. 设f（x）=sinxcosx﹣cos²（x+ $\frac{π}{4}$ ）．

(1)、求f（x）的单调区间；

(2)、在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（ $\frac{A}{2}$ ）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．

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19. 设a为实数，给出命题p：函数f（x）=（a﹣ $\frac{3}{2}$ ）^x是R上的减函数，命题q：关于x的不等式（ $\frac{1}{2}$ ）^|^x^﹣¹^|≥a的解集为∅．

(1)、若p为真命题，求a的取值范围；

(2)、若q为真命题，求a的取值范围；

(3)、若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．

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20. 设等差数列{a_n}的公差为d，前n项和为S_n ，等比数列{b_n}的公比为q，已知b₁=a₁ ， b₂=2，q=d，S₁₀=100．

(1)、求数列{a_n}，{b_n}的通项公式

(2)、当d＞1时，记c_n= $\frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，求数列{c_n}的前n项和T_n ．

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21. 设函数f（x）= $\frac{3 x^{2} + a x}{e^{x}}$ （a∈R）

(1)、若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

(2)、若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．

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22. 已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a≠0）．

(1)、讨论f（x）的单调性；

(2)、若f（x）+（a+1）x+4﹣e≤0对任意x∈[e，e²]恒成立，求实数a的取值范围（e为自然常数）；

(3)、求证ln（2²+1）+ln（3²+1）+ln（4²+1）+…+ln（n²+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N^*）（n!=1×2×3×…×n）．

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