2015-2016学年福建省八县（市）一中联考高三上学期期中数学试卷（文科）

试卷更新日期：2016-11-14 类型：期中考试

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一、选择题

1. 已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=2n，n∈A}，则A∩B=（）

A、{1，4} B、{1，3} C、{2，4} D、{2，3}

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2. $\frac{1 + 2 i}{{(1 - i)}^{2}}$ =（）

A、﹣1﹣ $\frac{1}{2}$ I B、﹣1+ $\frac{1}{2}$ I C、1+ $\frac{1}{2}$ I D、1﹣ $\frac{1}{2}$ i

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3. 已知点A（1，2），B（4，3），向量 $\vec{A C} = (- 2 ， - 2)$ ，则向量 $\vec{B C}$ =（）

A、（﹣5，﹣3） B、（5，3） C、（1，﹣1） D、（﹣1，﹣1）

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4. 已知角α的终边经过点P（﹣1，2）），则 $\tan (α + \frac{π}{4})$ 的值是（）

A、3 B、﹣3 C、 $\frac{1}{3}$ D、﹣ $\frac{1}{3}$

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5. 函数f（x）=x²+lnx的零点个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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6. 若sinα＞0，则（）

A、cos2α＞0 B、tan2α＞0 C、 $\cos \frac{α}{2} ＞ 0$ D、 $\tan \frac{α}{2} ＞ 0$

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7. {a_n}是首项为1的等比数列，S_n为{a_n}的前n项和，S₆=9S₃ ，则a₇=（）

A、32 B、64 C、 $\frac{81}{32}$ D、 $\frac{27}{64}$

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8. 函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ $\frac{π}{2}$ ＜φ＜ $\frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）

A、2，﹣ $\frac{π}{3}$ B、2，﹣ $\frac{π}{6}$ C、4，﹣ $\frac{π}{6}$ D、4， $\frac{π}{3}$

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9. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个非零向量，给定命题p：| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |=| $\vec{a}$ |+| $\vec{b}$ |，命题q：∃t∈R，使得 $\vec{a}$ =t $\vec{b}$ ；则p是q的（）

A、充分但不必要条件 B、必要但不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 已知等差数列{a_n}为递增数列且满足a₁+a₁₀=10，则a₅的取值范围是（）

A、（5，10） B、（5，+∞） C、（﹣∞，5） D、（10，+∞）

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11. 若x∈（e^﹣¹ ， 1），a=lnx，b=（ $\frac{1}{2}$ ）^lnx ， c=e^lnx ，则a，b，c的大小关系为（）

A、c＞b＞a B、b＞c＞a C、a＞b＞c D、b＞a＞c

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12. 数列{a_n}满足 $a_{n} - {(- 1)}^{n} a_{n - 1} = n ， (n \geq 2)$ ，S_n是{a_n}的前n项和，则S₄₀=（）

A、880 B、900 C、440 D、450

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二、填空题

13. 设函数f（x）= ${\begin{matrix} \log_{a} (x + 1) ， (x > 0) \\ x^{2} + a x + b ， (x \leq 0) \end{matrix}$ 若f（3）=2，f（﹣2）=0，则b= ．

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14. 函数f（x）=sinx在x=π处的切线方程为．

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15. 若关于x的方程 $\sqrt{3}$ sinx+cosx=k在区间[0， $\frac{π}{2}$ ]上有两个不同的实数解，则实数k的取值范围为．

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16. 已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．
x
﹣1
0
4
5
f（x）
1
2
2
1
下列关于函数f（x）的命题：
①函数y=f（x）是周期函数；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为5；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点．
其中所有真命题的序号为．

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三、解答题

17. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB= $\frac{3}{5}$

(1)、若b=4，求sinA的值；

(2)、若△ABC的面积S_△_ABC=4求b，c的值．

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18. 数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ+1，

(1)、求{a_n}的通项公式

(2)、设b_n=log₂a_n₊₂ ，求 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前n项和T_n ．

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19. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是非零向量，f（x）= $\vec{a} + \vec{b} (\vec{a} x - \vec{b}) \cdot (\vec{b} x - \vec{a})$ ．

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，证明f（x）为奇函数

(2)、若f（0）=3，f（x+2）=f（2﹣x），求| $\vec{a} + \vec{b}$ |．

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20. 已知函数f（x）=x²﹣ax，（a＞0）， $g (x) = \sin x \sin (x + \frac{π}{6}) - \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，命题p：a_n=f（n）是递增数列，命题q：g（x）在（a，π）上有且仅有2条对称轴．

(1)、求g（x）的周期和单调递增区间；

(2)、若p∧q为真，求a的取值范围．

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21. 中东呼吸综合征（简称MERS）是由一种新型冠状病毒（MERS﹣CoV）引起的病毒性呼吸道疾病．截至2015年6月1日，韩国中东呼吸综合征感染者有43人，6月2日，韩国中东呼吸综合征感染者新增2人，3日起每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加1人．由于医疗部门采取措施，MERS病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少1人，到6月20日止，MERS的患者共有180人，问6月几日感染MERS的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{a}{x}$

(1)、若f（x）在[1，e]上的最小值为 $\frac{3}{2}$ ，求a的值；

(2)、若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

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x	﹣1	0	4	5
f（x）	1	2	2	1