2015-2016学年福建省龙岩市一级达标校高一下学期期末数学试卷

试卷更新日期：2016-11-14 类型：期末考试

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一、选择题

1. 若tanθ+ $\frac{1}{\tan θ}$ =6，则sin2θ=（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2.
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x值为﹣4，则输出y值是（）

A、7 B、4 C、﹣1 D、0

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3. 为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出如图所示的频率分布直方图，已知从左到右各长方形高的比为2：3：5：6：3：1，则该班学生数学成绩在[100，120]之间的学生人数是（）

A、32 B、24 C、18 D、12

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4. 已知一个k进制数132与十进制数42相等，那么k等于（）

A、8或5 B、6 C、5 D、8

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5. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）

A、至少有1个白球；都是白球 B、至少有1个白球；至少有1个红球 C、恰有1个白球；恰有2个白球 D、至少有一个白球；都是红球

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6. 根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）

A、逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B、2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C、2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D、2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

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7. 函数f（x）=tanx与g（x）=sinx的图象在区间（﹣ $\frac{π}{2}$ ， $\frac{π}{2}$ ）上的交点个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 已知函数f（x）=cos⁴x﹣sin⁴x．下列结论正确的是（）

A、函数f（x）在区间[0， $\frac{π}{2}$ ]上是减函数 B、函数f（x）的图象关于原点对称 C、f（x）的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ D、f（x）的值域为[﹣ $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{2}$ ]

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9. 若平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 两两所成的角相等，且 $\vec{a}$ =1， $| \vec{b} |$ =1， $| \vec{c} |$ =3，则 $| \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |$ 等于（）

A、2 B、5 C、2或5 D、 $\sqrt{2}$ 或 $\sqrt{5}$

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10. 已知圆O：x²+y²=1及以下3个函数：①f（x）=xcosx；②f（x）=tanx；③f（x）=xsinx．其中图象能等分圆O面积的函数有（）

A、3个 B、2个 C、1个 D、0个

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11. 设f（x）=2sin（ωx+φ）﹣m，恒有f（x+ $\frac{π}{2}$ ）=f（﹣x）成立，且f（ $\frac{π}{4}$ ）=﹣2，则实数m的值为（）

A、±2 B、±4 C、﹣4或0 D、0或4

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12. 等腰直角三角形ABC的直角顶点A在x轴的正半轴上，B在y轴的正半轴上，C在第一象限，设∠BAO=θ（O为坐标原点），AB=AC=2，当OC的长取得最大值时，tanθ的值为（）

A、 $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ B、﹣1+ $\sqrt{5}$ C、 $\frac{- 1 + \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

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二、填空题

13. 已知 $\vec{a}$ =（﹣2，﹣1）， $\vec{b}$ =（λ，1），若 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则λ的取值范围是．

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14. 如图所示，分别以A，B，C为圆心，在△ABC内作半径为2的扇形（图中的阴影部分），在△ABC内任取一点P，如果点P落在阴影部分的概率为 $\frac{1}{4}$ ，那么△ABC的面积是．

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15. 某同学在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数．
①sin²10°+cos²20°﹣sin10°cos20°；
②sin²15°+cos²15°﹣sin15°cos15°；
③sin²16°+cos²14°﹣sin16°cos14°；
请将该同学的发现推广为一般规律的等式为．

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16. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，E在CD延长线上，且DE=CD．动点P从点A出发沿正方形ABCD的边按逆进针方向运动一周回到A点，其中 $\vec{A P}$ =λ $\vec{A B}$ +μ $\vec{A E}$ ，则下列命题正确的是．（填上所有正确命题的序号）
①当点P为AD中点时，λ+μ=1；
②λ+μ的最大值为3；
③若y为给定的正数，则一存在向量 $\vec{A P}$ 和实数x，使 $\vec{A D}$ =x $\vec{A B}$ +y $\frac{\vec{A P}}{| \vec{A B} |}$ ．

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三、解答题

17. 已知函数f（x）=Asin（ωx+α）（A＞0，ω＞0，﹣ $\frac{π}{2}$ ＜α＜ $\frac{π}{2}$ ）的最小正周期是π，且当x= $\frac{π}{6}$ 时，f（x）取得最大值2．

(1)、求f（x）的解析式，并作出f（x）在[0，π]上的图象（要列表）；

(2)、将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，且y=g（x）是偶函数，求m的最小值．

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18. 国Ⅳ标准规定：轻型汽车的屡氧化物排放量不得超过80mg/km．根据这个标准，检测单位从某出租车公司运营的A、B两种型号的出租车中分别抽取5辆，对其氮氧化物的排放量进行检测，检测结果记录如表（单位：mg/km）
A
85
80
85
60
90
B
70
x
95
y
75
由于表格被污损，数据x，y看不清，统计员只记得A、B两种出租车的氮氧化物排放量的平均值相等，方差也相等．

(1)、求表格中x与y的值；

(2)、从被检测的5辆B种型号的出租车中任取2辆，记“氮氧化物排放量超过80mg/km”的车辆数为X，求X=1时的概率．

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19. 在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2，1，若M，N分别是边BC、CD上的点，且满足 $\frac{| \vec{B M} |}{| \vec{B C} |}$ = $\frac{| \vec{D N} |}{| \vec{D C} |}$ =λ．

(1)、当λ= $\frac{1}{2}$ 时，求向量 $\vec{A M}$ 和 $\vec{A N}$ 夹角的余弦值；

(2)、求 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的取值范围．

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20. 平面直角坐标系中，已知向量 $\vec{a}$ =（1，2），又点A（8，0），B（﹣8，t），C（8sinθ，t）．

(1)、若 $\vec{A B}$ ⊥ $\vec{a}$ ，求向量 $\vec{O B}$ 的坐标；

(2)、若向量 $\vec{A C}$ 与向量 $\vec{a}$ 共线，当tsinθ取最小值时，求 $\vec{O A}$ • $\vec{O C}$ 的值．

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21. 已知f（α）= $\frac{\cos (π - α) \sin (\frac{3}{2} π + α)}{\cos α}$ ．

(1)、若α为第二象限角且f（α）=﹣ $\frac{3}{5}$ ，求 $\frac{\sin 2 α + \cos 2 α + 1}{1 + \tan α}$ 的值；

(2)、若5f（α）=4f（3α+2β）．试问tan（2α+β）•tan（α+β）是否为定值（其中α≠kπ+ $\frac{π}{2}$ ，α+β≠kπ+ $\frac{π}{2}$ ，2α+β≠kπ+ $\frac{π}{2}$ ，3α+2β≠kπ+ $\frac{π}{2}$ ，k∈Z）？若是，请求出定值；否则，说明理由．

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22. 已知函数f（x）= $\sqrt{3}$ sin2x+2cos²x+m（0≤x≤ $\frac{π}{2}$ ）．

(1)、若函数f（x）的最大值为6，求常数m的值；

(2)、若函数f（x）有两个零点x₁和x₂ ，求m的取值范围，并求x₁和x₂的值；

(3)、在（1）的条件下，若g（x）=（t﹣1）f（x）﹣ $\frac{3 \sin x - \sqrt{3} \cos x}{\sqrt{3} \cos x + \sin x}$ （t≥2），讨论函数g（x）的零点个数．

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