2015-2016学年天津市五区县高三上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-11-14 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知集合A={x|x²﹣x﹣2＞0}，B={x|1＜x≤3}，则（∁_RA）∩B=（） A．

A、（1，2] B、[﹣1，2] C、（1，3] D、（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）

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2. 设变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y + 1 \geq 0 \\ x - 2 y \leq 0 \\ x + 2 y - 2 \geq 0 \end{matrix}$ ，则目标函数z=x+y的最小值为（）

A、﹣3 B、﹣2 C、 $\frac{3}{2}$ D、1

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3. “辗转相除法”的算法思路如右图所示．记R（a\b）为a除以b所得的余数（a，b∈N^*），执行程序框图，若输入a，b分别为243，45，则输出b的值为（）

A、0 B、1 C、9 D、18

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4. 设x∈R，则“x＜1”是“x|x|＜1”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 如图，圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，DC是圆O的切线，若AD=4，CD=6，则AC的长为（）

A、5 B、4 C、 $\frac{10}{3}$ D、3

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6. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的一条渐近线平行于直线x+2y+5=0，一个焦点与抛物线y²=﹣20x的焦点重合，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{20} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{20} = 1$ C、 $\frac{3 x^{2}}{25} - \frac{3 y^{2}}{100} = 1$ D、 $\frac{3 x^{2}}{100} - \frac{3 y^{2}}{25} = 1$

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7. 已知定义在R上的函数f（x）=x²+|x﹣m|（m为实数）是偶函数，记a=f（ $\log_{\frac{1}{3}}$ e），b=f（log₃π），c=f（e^m）（e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系（）

A、a＜b＜c B、a＜c＜b C、c＜a＜b D、c＜b＜a

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8. 已知定义域为R的奇函数f（x）的周期为4，且x∈（0，2）时f（x）=ln（x²﹣x+b），若函数f（x）在区间[﹣2，2]上恰有5个零点，则实数b应满足的条件是（）

A、﹣1＜b≤1 B、﹣1＜b＜1或b= $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ ＜b $\leq \frac{5}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$ ＜b≤1或b= $\frac{5}{4}$

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二、填空题

9. 若复数 $z = \frac{1 + a i}{1 - i}$ 是纯虚数，则实数a的值为．

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10. 在（x﹣ $\frac{1}{x}$ ）⁸的展开式中， $\frac{1}{x^{2}}$ 的系数为．

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11. 某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．

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12. 曲线y= $\frac{1}{4}$ x²和它在点（2，1）处的切线与x轴围成的封闭图形的面积为．

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13. 如图，在△ABC中，∠B= $\frac{π}{2}$ ，∠BAC的平分线交BC于点D，AD= $\sqrt{2}$ ，AC= $\sqrt{6}$ ，则△ABC的面积为．

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14. 如图，已知l₁ ， l₂ ， l₃ ， …l_n为平面内相邻两直线距离为1的一组平行线，点O到l₁的距离为2，A，B是l₁的上的不同两点，点P₁ ， P₂ ， P₃ ， …P_n分别在直线l₁ ， l₂ ， l₃ ， …l_n上．若 $\vec{O P_{n}}$ =x_n $\vec{O A}$ +y_n $\vec{O B}$ （n∈N^*），则x₁+x₂+…+x₅+y₁+y₂+…+y₅的值为．

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三、解答题

15. 已知函数f（x）=4sinxsin（x+ $\frac{π}{3}$ ）﹣1（x∈R）．

(1)、求函数f（x）的最小正周期；

(2)、求函数f（x）在区间[0， $\frac{π}{2}$ ]上的最大值和最小值．

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16. 甲、乙、丙三支球队进行某种比赛，其中两队比赛，另一队当裁判，每局比赛结束时，负方在下一局当裁判．设各局比赛双方获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，各局比赛结果相互独立，且没有平局，根据抽签结果第一局甲队当裁判

(1)、求第四局甲队当裁判的概率；

(2)、用X表示前四局中乙队当裁判的次数，求X的分布列和数学期望．

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17. 已知四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的侧棱AA₁⊥底面ABCD，ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AB=2，AD=1，∠ABC=60°，E为A₁C的中点

(1)、求证：D₁E∥平面BB₁C₁C；

(2)、求证：BC⊥A₁C；

(3)、若A₁A=AB，求二面角A₁﹣AC﹣B₁的余弦值．

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18. 已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n ，向量 $\vec{a}$ =（S_n ， a_n+1）， $\vec{b}$ =（a_n+1，4）（n∈N^*），且 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$

(1)、求{a_n}的通项公式

(2)、设f（n）= ${\begin{matrix} a_{n} ， n = 2 k - 1 \\ f (\frac{n}{2}) ， n = 2 k \end{matrix}$ b_n=f（2ⁿ+4），求数列{b_n}的前n项和T_n ．

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19. 已知椭圆C的中心在原点，焦点F₁ ， F₂在轴上，焦距为2，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若P是椭圆C上第一象限内的点，△PF₁F₂的内切圆的圆心为I，半径为 $\frac{1}{2}$ ．求：
（i）点P的坐标；
（ii）直线PI的方程．

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20. 已知函数f（x）=e^mx+x²﹣mx（m∈R）．

(1)、当m=1时，求函数f（x）的单调区间；

(2)、若m＜0，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+（e+1）y=0垂直．
（i）当x＞0时，试比较f（x）与f（﹣x）的大小；
（ii）若对任意x₁ ， x₂（x₁≠x₂），且f（x₁）=f（x₂），证明：x₁+x₂＜0．

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