2015-2016学年山东省泰安市高三上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-11-14 类型：期末考试

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一、选择题

1. 设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）

A、{2} B、{4，6} C、{1，3，5} D、{4，6，7，8}

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2. 设{a_n}是公差为正数的等差数列，若a₁+a₃=10，且a₁a₃=16，则a₁₁+a₁₂+a₁₃等于（）

A、75 B、90 C、105 D、120

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3. 已知p：0＜a＜4，q：函数y=x²﹣ax+a的值恒为正，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 下列命题错误的是（）

A、如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β B、如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β C、如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ D、如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

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5. 不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集为（）

A、（﹣∞，2） B、（﹣2，6） C、（6，+∞） D、（﹣1，5）

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6. 已知点F₁、F₂分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与椭圆交于 M、N两点，若△M NF₂为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、-1+ $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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7. 设f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知实数a，b满足2^a=3，3^b=2，则函数f（x）=a^x+x﹣b的零点所在的区间是（　　）

A、（﹣2，﹣1） B、（﹣1，0） C、（0，1） D、（1，2）

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9. 已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤ $\frac{π}{2}$ ），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π．若f（x）＞1对任意x∈（﹣ $\frac{π}{12}$ ， $\frac{π}{3}$ ）恒成立，则φ的取值范围是（）

A、[ $\frac{π}{12}$ ， $\frac{π}{2}$ ] B、[ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{3}$ ] C、[ $\frac{π}{12}$ ， $\frac{π}{3}$ ] D、（ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{2}$ ]

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10. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} 2 x - 1 (x > - 1) \\ e^{x} (x \leq - 1) \end{matrix}$ ，若a＜b，f（a）=f（b），则实数a﹣2b的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{e} - 1)$ B、 $(- \infty ， - \frac{1}{e})$ C、 $(- \infty ， - \frac{1}{e} - 2)$ D、 $(- \infty ， - \frac{1}{e} - 2]$

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二、填空题

11. 若α∈（0， $\frac{π}{2}$ ）且cos²α+cos（ $\frac{π}{2}$ +2α）= $\frac{3}{10}$ ，则tanα= ．

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12. 直线ax+y+1=0被圆x²+y²﹣2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是．

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13. 如果实数x，y满足条件 ${\begin{matrix} 2 x - y \geq 0 \\ x + 2 y - 2 \geq 0 \\ x - 1 \leq 0 \end{matrix}$ ，则z=x+y的最小值为．

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14. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为．

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15. 规定记号“*”表示一种运算，a*b=a²+ab，设函数f（x）=x*2，且关于x的方程f（x）=ln|x+1|（x≠﹣1）恰有4个互不相等的实数根x₁ ， x₂ ， x₃ ， x₄ ，则x₁+x₂+x₃+x₄= ．

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三、解答题

16. △ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c，且 $\sin B - \sqrt{3} b c c o s A = 0$

(1)、求角A

(2)、若 ${\vec{A B}}^{2} + \vec{A C} \cdot \vec{B C} - {\vec{B C}}^{2} = 4$ ，求a的最小值．

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17. 如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，EF∥AD，FA⊥面ABCD，AB=AF=EF=1，AD=2，AC交BD于点P

(1)、证明：PF∥面ECD；

(2)、求二面角B﹣EC﹣A的大小．

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18. 已知正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n ，且S₂=6，S₄=30，n∈N^* ，数列{b_n}满足b_n•b_n₊₁=a_n ， b₁=1

(1)、求a_n ， b_n；

(2)、求数列{b_n}的前n项和为T_n ．

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19. AC为对称轴的抛物线的一部分，点B到边AC的距离为2km，另外两边AC，BC的长度分别为8km，2 $\sqrt{5}$ km．现欲在此地块内建一形状为直角梯形DECF的科技园区．

(1)、求此曲边三角形地块的面积；

(2)、求科技园区面积的最大值．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点A（2，0），且过点 $(- 1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点B（1，0）且斜率为k₁（k₁≠0）的直线l于椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x=3于M，N两点，线段MN的中点为P，记直线PB的斜率为k₂ ，求证：k₁•k₂为定值．

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21. 已知函数f（x）=lnx+ax在点（t，f（t））处切线方程为y=2x﹣1

(1)、求a的值

(2)、若 $- \frac{1}{2} \leq k \leq 2$ ，证明：当x＞1时， $f (x) > k (1 - \frac{3}{x}) + x - 1$

(3)、对于在（0，1）中的任意一个常数b，是否存在正数x₀ ，使得： $e^{f (x_{0} + 1) - 2 x_{0} - 1} + \frac{b}{2} x_{0}^{2} < 1$ ．

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