2015-2016学年江苏省苏州市高三上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2016-11-14 类型：期末考试

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一、填空题

1. 设全集U={x|x≥2，x∈N}．集合A={x|x²≥5，x∈N}，则∁_UA= ．

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2. 复数z= $\frac{a i}{1 + 2 i}$ （a＜0），其中i为虚数单位，|z|= $\sqrt{5}$ ，则a的值为．

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3. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的离心率为．

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4. 若一组样本数据9，8，x，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为．

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5. 已知向量 $\vec{a}$ =（l，2）， $\vec{b}$ =（x，﹣2），且 $\vec{a}$ 丄（ $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ ），则实数x= ．

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6. 阅读算法流程图，运行相应的程序，输出的结果为

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7. 函数f（x）= ${\begin{matrix} 2^{x} ， x \leq 0 \\ - x^{2} + 1 ， x > 0 \end{matrix}$ 的值域为．

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8. 连续2次抛掷﹣枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．则事件“两次向上的数字之和等于7”发生的概率为．

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9. 将半径为5的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r₁ ， r₂ ， r₃ ，则r₁+r₂+r₃= ．

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10. 已知θ是第三象限角，且sinθ﹣2cosθ=﹣ $\frac{2}{5}$ ，则sinθ+cosθ= ．

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11. 已知{a_n}是等差数列，a₅=15，a₁₀=﹣10，记数列{a_n}的第n项到第n+5顶的和为T_n；，则|T_n|取得最小值时的n的值为．

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12. 若直线l₁：y=x+a和直线l₂：y=x+b将圆（x﹣1）²+（y﹣2）²=8分成长度相等的四段弧，则a²+b²= ．

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13. 已知函数f（x）=|sinx丨一kx（x≥0，k∈R）有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为x₀ ，则
$\frac{x_{0}}{(1 + x_{0}^{2}) \sin 2 x_{0}}$ = ．

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14. 已知ab= $\frac{1}{4}$ ，a，b∈（0，1），则 $\frac{1}{1 - a}$ + $\frac{2}{1 - b}$ 的最小值为．

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二、解答题

15. 在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $\frac{a \cos B + b \cos A}{c}$ =2cosC．

(1)、求角C的大小；

(2)、若△ABC的面积为2 $\sqrt{3}$ ，a+b=6，求边c的长．

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16. 如图．在直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F分別AB，BC的中点，A₁C₁与B₁D₁交于点O．

(1)、求证：A₁ ， C₁ ， F，E四点共面；

(2)、若底面ABCD是菱形，且OD⊥A₁E，求证：OD丄平面A₁C₁FE．

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17. 图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C为半圆弧 $\hat{A C B}$ 的中点，坝宽AB为2米．

(1)、当渠中水深CD为0.4米时，求水面的宽度；

(2)、若把这条水渠改挖（不准填土）成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？

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18. 如图，已知椭圆O： $\frac{x^{2}}{4}$ +y²=1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y=﹣2上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M．

(1)、当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；

(2)、①记直线BM，BP的斜率分别为k₁ ， k₂ ，求证：k₁•k₂为定值；
②求 $\vec{P B} \cdot \vec{P M}$ 的取值范围．

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19. 已知数列{a_n}满足：a₁= $\frac{1}{2}$ ，a_n₊₁﹣a_n=p•3ⁿ^﹣¹﹣nq，n∈N^* ， p，q∈R．

(1)、若q=0，且数列{a_n}为等比数列，求p的值；

(2)、若p=1，且a₄为数列{a_n}的最小项，求q的取值范围．

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20. 已知函数f（x）=e^x（2x﹣1）﹣ax+a（a∈R），e为自然对数的底数．

(1)、当a=1时，求函数f（x）的单调区间；

(2)、①若存在实数x，满足f（x）＜0，求实数a的取值范围：②若有且只有唯一整数x₀ ，满足f（x₀）＜0，求实数a的取值范围．

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21. 如图，四边形么BDC内接于圆，BD=CD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E点．

(1)、求证：∠EAC=2∠DCE；

(2)、若BD⊥AB，BC=BE，AE=2，求AB的长．

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22. 选修4﹣2：矩阵与变换
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量 $\vec{e_{1}}$ = $[\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}]$ ，并且M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（9，15），求矩阵M．

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23. 在直角坐标系xOy中，已知曲线C₁的参数方程是 ${\begin{matrix} x = \sqrt{t} \\ y = \frac{\sqrt{3 t}}{3} \end{matrix}$ （t为参数），在以坐标原
点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂的极坐标方程是ρ=2，求曲线C₁与C₂的交点在直角坐标系中的直角坐标．

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24. 设函数f（x）=|x+ $\frac{1}{a}$ |+|x﹣a|（a＞0）．

(1)、证明：f（x）≥2；

(2)、若f（3）＜5，求a的取值范围．

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三、必做题

25. 一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向．已知该网民购买A种商品的概率为 $\frac{3}{4}$ ，购买B种商品的槪率为 $\frac{2}{3}$ ，购买C种商品的概率为 $\frac{1}{2}$ ．假设该网民是否购买这三种商品相互独立

(1)、求该网民至少购买2种商品的概率；

(2)、用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的槪率分布和数学期望．

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26. 如图，由若干个小正方形组成的k层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k层有k个小正方形，除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上．现对第k层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为x₁ ， x₂ ， …x_k ，其中x_i∈{0，1}（1≤i≤k），其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为x₀；

(1)、当k=4时，若要求x₀为2的倍数，则有多少种不同的标注方法？

(2)、当k=11时，若要求x₀为3的倍数，则有多少种不同的标注方法？

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