2015-2016学年河南省洛阳市孟津一中高三上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-11-14 类型：期末考试

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一、选择题

1. 复数z满足 $z = \frac{2 i}{1 + i}$ ，则 $z \cdot \bar{z}$ =（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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2. $\frac{\tan 27^{0} + \tan 213^{0}}{1 - \tan 27^{0} \tan 213^{0}}$ =（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、- $\sqrt{3}$ D、- $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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3. “m=2”是“log_a2+log₂a≥m（a＞1）恒成立”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知等比数列{a_n}的公比为4，且a₁+a₂=20，设b_n=log₂a_n ，则b₂+b₄+b₆+…+b_2n等于（）

A、n²+n B、2n²+n C、2（n²+n） D、4（n²+n）

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5. 为了纪念抗日战争胜利70周年，从甲、乙、丙等5名候选民警中选2名作为阅兵安保人员，为9月3号的阅兵提供安保服务，则甲、乙、丙三人中有2人被选中的概率是（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{3}{20}$ D、 $\frac{1}{20}$

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6. 为调查高中三年级男生的身高情况，选取了5000人作为样本，如图是此次调查中的某一项流程图，若输出的结果是3800，则身高在170cm以下的频率为（）

A、0.24 B、0.38 C、0.62 D、0.76

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7. 设 F₁F₂分别为双曲线x²﹣y²=1的左，右焦点，P是双曲线上在x轴上方的点，∠F₁PF₂为直角，则sin∠PF₁F₂的所有可能取值之和为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、2 C、 $\sqrt{6}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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8. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）

A、12 B、4 C、 $\frac{56}{3}$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$

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9. 将函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 向右平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）与 $x = - \frac{π}{2}$ ， $x = \frac{π}{3}$ ，x轴围成的图形面积为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

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10. 在△ABC中， $\tan \frac{C}{2} = \frac{1}{2} ， \vec{A H} \cdot \vec{B C} = 0$ ， $\vec{A B} \cdot (\vec{C A} + \vec{C B}) = 0$ ，则过点C，以A、H为两焦点的椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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11. 已知底面为正方形的四棱锥O﹣ABCD，各侧棱长都为 $2 \sqrt{3}$ ，底面面积为16，以O为球心，以2为半径作一个球，则这个球与四棱锥O﹣ABCD相交部分的体积是（）

A、 $\frac{2 π}{9}$ B、 $\frac{8 π}{9}$ C、 $\frac{16 π}{9}$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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12. 已知x₁ ， x₂（x₁＜x₂）是方程4x²﹣4kx﹣1=0（k∈R）的两个不等实根，函数 $f (x) = \frac{2 x - k}{x^{2} + 1}$ 定义域为[x₁ ， x₂]，g（k）=f（x）_max﹣f（x）_min ，若对任意k∈R，恒只有 $g (k) \leq a \sqrt{1 + k^{2}}$ 成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $[\frac{8}{5} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， \frac{8}{5}]$ C、 $[\frac{3}{5} ， + \infty)$ D、 $[\frac{3}{5} ， \frac{8}{5}]$

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二、填空题

13. 设向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 均为单位向量，且（ $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ）²=1，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为

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14. 已知（2x﹣ $\frac{1}{\sqrt{x}}$ ）ⁿ展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是．

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15. 平面上满足约束条件 ${\begin{matrix} x \geq 2 \\ x + y \leq 0 \\ x - y - 10 \leq 0 \end{matrix}$ 的点（x，y）形成的区域为D，区域D关于直线y=2x，对称的区域为E，则区域D和E中距离最近两点的距离为．

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16. 定义max{a，b}表示实数a，b中的较大的数．已知数列{a_n}满足a₁=a（a＞0），a₂=1，a_n₊₂= $\frac{2 \max {a_{n + 1} ， 2}}{a_{n}}$ （n∈N^*），若a₂₀₁₅=4a，记数列{a_n}的前n项和为S_n ，则S₂₀₁₆的值为．

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三、解答题

17. 如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA=DC，已知B= $\frac{π}{4}$ ，BC=1．

(1)、若△ABC是锐角三角形，DC= $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求角A的大小；

(2)、若△BCD的面积为 $\frac{1}{6}$ ，求边AB的长．

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18. 为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查，得到如下2×2列联表，平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．已知在这30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为 $\frac{4}{15}$ ．
常喝
不常喝
合计
肥胖
2
不肥胖
18
合计
30

(1)、请将上面的列联表补充完整．能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．

(2)、现从常喝碳酸饮料的学生中抽取3人参加电视节目，记ξ表示常喝碳酸饮料且肥胖的学生人数，求ξ的分布列及数学期望．
参考数据：
P（K²≥k₀）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k₀
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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19. 如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．

(1)、设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；

(2)、线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于 $\frac{2}{5}$ ？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

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20. 抛物线D以双曲线C：8y²﹣8x²=1的焦点F（0，c），（c＞0）为焦点．

(1)、求抛物线D的标准方程；

(2)、过直线l：y=x﹣1上的动点P作抛物线D的两条切线，切点为A，B．求证：直线AB过定点Q，并求出Q的坐标；

(3)、在（2）的条件下，若直线PQ交抛物线D于M，N两点，求证：|PM|•|QN|=|QM|•|PN|

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21. 设函数f（x）=alnx+b（x²﹣3x+2），其中a，b∈R．

(1)、若a=b，讨论f（x）极值（用a表示）；

(2)、当a=1，b=- $\frac{1}{2}$ ，函数g（x）=2f（x）﹣（λ+3）x+2，若x₁ ， x₂（x₁≠x₂）满足g（x₁）=g（x₂）且x₁+x₂=2x₀ ，证明：g′（x₀）≠0．

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22. 如图，圆内接四边形ABCD的边BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．

(1)、若 $\frac{E C}{E B}$ = $\frac{1}{3}$ ， $\frac{E D}{E A}$ = $\frac{1}{2}$ ，求 $\frac{D C}{A B}$ 的值；

(2)、若EF∥CD，证明：EF²=FA•FB．

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23. 已知直线l： ${\begin{matrix} x = m + t \cos α \\ y = t \sin α \end{matrix}$ （t为参数）经过椭圆 $C ： {\begin{matrix} x = 2 \cos ϕ \\ y = \sqrt{3} \sin ϕ \end{matrix}$ （φ为参数）的左焦点F．

(1)、求m的值；

(2)、设直线l与椭圆C交于A、B两点，求|FA|•|FB|的最大值和最小值．

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24. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{9 \sin^{2} x} + \frac{4}{9 \cos^{2} x} ， x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且f（x）≥t恒成立．

(1)、求实数t的最大值；

(2)、当t取最大值时，求不等式|x+t|+|x﹣2|≥5的解集．

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P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	常喝	不常喝	合计
肥胖		2
不肥胖		18
合计			30