2015-2016学年河北省邢台市高三上学期期末数学试卷（文科）

试卷更新日期：2016-11-14 类型：期末考试

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一、选择题

1. 若集合A={x|x²﹣6x+8＜0}，集合B={x∈N|y= $\sqrt{3 - x}$ }，则A∩B=（）

A、{3} B、{1，3} C、{1，2} D、{1，2，3}

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2. 若z=1﹣ $\sqrt{2}$ i，则复数z+ $\frac{1}{z}$ 在复平面上对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 若sinα=﹣ $\frac{12}{13}$ ，α为第三象限的角，则cos（ $α + \frac{π}{4}$ ）等于（）

A、 $\frac{7}{13}$ B、 $\frac{7}{26}$ C、﹣ $\frac{7 \sqrt{2}}{13}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{26}$

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4. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x（万元）
4
2
3
5
销售额y（万元）
49
26
39
54
根据上表可得回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的 $\hat{b}$ 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）

A、63.6万元 B、65.5万元 C、67.7万元 D、72.0万元

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5. 已知f（x）= ${\begin{matrix} \sin π x ， x \leq 0 \\ 2 f (x - 1) ， x > 0 \end{matrix}$ ，则f（ $\frac{4}{3}$ ）等于（）

A、2 B、﹣2 C、2 $\sqrt{3}$ D、﹣2 $\sqrt{3}$

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6. 已知在△ABC中，∠A=60°，D为AC上一点，且BD=3， $\vec{A C}$ • $\vec{A D}$ = $\vec{A C}$ • $\vec{A B}$ ，则 $\vec{A D}$ • $\vec{A B}$ 等于（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 执行如图的程序框图，若p=4，则输出S的值为（）

A、 $\frac{13}{15}$ B、 $\frac{13}{18}$ C、 $\frac{15}{16}$ D、 $\frac{13}{16}$

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8. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、2 D、6

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9. 下列关于函数f（x）=sinx（cosx+sinx）的说法中，不正确的是（）

A、f（x）的最小正周期为π B、f（x）的图象关于直线x=﹣ $\frac{π}{8}$ 对称 C、f（x）的图象关于点（ $\frac{π}{8}$ ，0）对称 D、f（x）的图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 后得到一个偶函数的图象

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10. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为﹣1的直线，且l与此双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若 $\vec{F B}$ = $\frac{1}{3}$ $\vec{B C}$ ，则此双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{34}}{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{34}}{5}$

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11. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且A= $\frac{2 π}{3}$ ，b+2c=8，则当△ABC的面积取得最大值时a的值为（）

A、2 $\sqrt{6}$ B、2 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{14}$ D、4

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12. 函数f（x）=log_a（x³﹣2ax）（a＞0且a≠1）在（4，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）

A、1＜a≤4 B、1＜a≤8 C、1＜a≤12 D、1＜a≤24

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二、填空题

13. 函数g（x）=sinx•log₂（ $\sqrt{x^{2} + t}$ +x）为偶函数，则t= ．

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14. 已知点P（x，y）在不等式组 ${\begin{matrix} x - 2 \leq 0 \\ y - 1 \leq 0 \\ x + 2 y - 2 \geq 0 \end{matrix}$ 表示的平面区域上运动，则z=x²+y²的取值范围是．

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15. 已知点A是抛物线y²=2px上的一点，F为其焦点，若以F为圆心，以|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，且△FBC为正三角形，当△ABC的面积是 $\frac{128}{3}$ 时，则抛物线的方程为．

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16. 已知三棱锥O﹣ABC中，OA=OB=2，OC=4 $\sqrt{2}$ ，∠AOB=120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，则三棱锥O﹣ABC的体积为．

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三、解答题

17. 已知等差数列{a_n}的前5项的和为55，且a₆+a₇=36．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设数列b_n= $\frac{1}{(a_{n} - 6) (a_{n} - 4)}$ ，求数列{b_n}的前n项和S_n ．

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18. 在下班高峰期，记者在某红绿灯路口随机访问10个步行下班的路人，其年龄的茎叶图如图：

(1)、求这些路人年龄的中位数与方差；

(2)、若从40岁以上的路人中，随机抽取2人，求其中一定含有50岁以上的路人的概率．

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19. 在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=4．

(1)、求证：CE∥平面PAB；

(2)、若F为PC的中点，求F到平面AEC的距离．

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20. 已知点Q是圆M：（x+1）²+y²=64上的动点（圆心为M）上的动点，点N（1，0），线段QN的中垂线交MQ于点P．

(1)、若点P的轨迹是E，求E的轨迹方程；

(2)、是否存在直线l，使原点到直线l的距离为1，并且以l截轨迹E所得的弦为直径的圆恰好过原点？如存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由．

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21. 已知函数f（x）=lnx﹣（1+a）x﹣1，g（x）=﹣ $\frac{\ln x}{x}$ ﹣a（x+1），其中a是常数．

(1)、若函数f（x）在其定义域上不是单调函数，求实数a的取值范围；

(2)、如果函数p（x），q（x）在公共定义域D上满足p（x）＜q（x），那么就称q（x）为p（x）在D上的“线上函数”．证明：当a＜1时，g（x）为f（x）在（0，+∞）上的“线上函数”．

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22. 如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A．

(1)、若BD⊥AE，AB=4，BC=2，AD=3，求CE的长；

(2)、若 $\frac{A B}{A C}$ = $\frac{1}{2}$ ， $\frac{A D}{A E}$ = $\frac{1}{3}$ ，求 $\frac{B D}{E C}$ 的值．

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23. 在平面直角坐标线中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立坐标系．已知直线与椭圆的极坐标方程分别为l：cosθ+2sinθ=0，C：ρ²= $\frac{4}{\cos^{2} θ + 4 \sin^{2} θ}$ ．

(1)、求直线与椭圆的直角坐标方程；

(2)、若P是椭圆C上的一个动点，求P到直线l距离的最大值．

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24. 不等式|2x﹣1|﹣|x+1|＜2的解集为{x|a＜x＜b}．

(1)、求a，b的值；

(2)、已知x＞y＞z，求证：存在实数k使﹣ $\frac{3 a}{2 (x - y)}$ + $\frac{b}{4 (y - z)}$ ≥ $\frac{k}{x - z}$ 恒成立，并求出k的最大值．

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广告费用x（万元）	4	2	3	5
销售额y（万元）	49	26	39	54