2015-2016学年河北省保定市高三上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-11-14 类型：期末考试

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一、选择题

1. 集合A={x|（1+x）（1﹣x）＞0}，B={x|y= $\sqrt{x}$ }，则A∩B=（）

A、（﹣1，1） B、（0，1） C、[0，1） D、（﹣1，0]

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2. 复数z= $\frac{a + 3 i}{1 + 2 i}$ 的实部与虚部相等，则实数a=（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、﹣1

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3. “m≥0”是“直线mx﹣y+1﹣m=0与圆（x﹣1）²+y²=1相切”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（　　）

A、若m⊥n，n∥α，则m⊥α B、若m∥β，β⊥α，则m⊥α C、若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α D、若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α

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5. 如图，程序框图所进行的求和运算是（）

A、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{20}$ B、 $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{19}$ C、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{18}$ D、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \dots + \frac{1}{2^{10}}$

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6. 将函数f（x）=sin（4x+ $\frac{π}{6}$ ）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）图象的一条对称轴是直线（）

A、x= $\frac{π}{2}$ B、x= $\frac{π}{6}$ C、x= $\frac{π}{3}$ D、x= $\frac{2 π}{3}$

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7. 下列四个判断：
①某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学的平均分为 $\frac{a + b}{2}$ ；
②10名工人某天生产同一种零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有c＞a＞b；
③设从总体中抽取的样本为（x₁ ， y₁），（x₂ ， y₂），…，（x_n ， y_n），若记 $\bar{x}$ = $\frac{1}{n}$ $\sum_{i = 1}^{n} X_{i}$ ， $\bar{y}$ = $\frac{1}{n}$ $_{i = 1}^{n}$ y_i ，则回归直线方程 $\hat{y}$ =bx+a必过点（ $\bar{x}$ ， $\bar{y}$ ）；
④已知ξ服从正态分布N（0，σ²），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2．
其中正确判断的个数有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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8. 已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线x²﹣ay²=a的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 等差数列{a_n}中，a₁=2016，前n项和为S_n ，若 $\frac{S_{12}}{12}$ ﹣ $\frac{S_{10}}{10}$ =﹣2，则S₂₀₁₆=（）

A、2014 B、2015 C、2016 D、2017

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10. 已知 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ + $\vec{c}$ = $\vec{0}$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，| $\vec{b}$ |= $\sqrt{3}$ | $\vec{a}$ |，设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为θ，则tanθ=（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、﹣1 D、﹣ $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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11. 已知a＞0且 a≠1，函数f（x）= $\frac{3 a^{x} + 1}{a^{x} + 1}$ +3log_a $\frac{1 + x}{1 - x}$ （﹣ $\frac{1}{2}$ ≤x≤ $\frac{1}{2}$ ），设函数f（x）的最大值是A，最小值是B，则（）

A、A﹣B=4 B、A+B=4 C、A﹣B=6 D、A+B=6

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12. 函数f（x）= $\frac{| \cos (x - \frac{π}{2}) |}{x}$ ﹣k在（0，+∞）上有两个不同的零点a，b（a＜b），则下面结论正确的是（）

A、sina=acosb B、sinb=﹣bsina C、cosa=bsinb D、sina=﹣acosb

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二、填空题

13. 一个几何体的三视如图所示，其中正视图和俯视图均为腰长为2的等腰直角三角形，则用个这样的几何体可以拼成一个棱长为2的正方体．

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14. 若a= $\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$ cosxdx，则（ $\frac{x}{a}$ + $\frac{1}{x}$ + $\sqrt{2}$ ）⁴的展开式中常数项为．

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15. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} \ln x ， x > 0 \\ - 2 x - 1 ， x \leq 0 \end{matrix}$ ，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x﹣2y在D上的最大值为．

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16. 已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2^x﹣2，若同时满足条件：
①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．
则m的取值范围是．

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三、解答题

17. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若向量 $\vec{m}$ =（ $\sqrt{3}$ sinA，sinB）， $\vec{n}$ =（cosB， $\sqrt{3}$ cosA）， $\vec{m}$ • $\vec{n}$ = $\sqrt{3}$ +cos（A+B）．

(1)、求∠C；

(2)、若c=3，b= $\sqrt{3}$ a，求△ABC的面积S．

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18. 已知数列{a_n}，{b_n}，其中a₁=1，a_n= $\frac{1}{b_{n}}$ + $\frac{1}{2}$ ， $\frac{4}{b_{n + 1} b_{n}}$ = $\frac{6}{b_{n + 1}}$ ﹣ $\frac{3}{b_{n}}$ （n∈N^*）．

(1)、求证：数列{b_n﹣ $\frac{4}{3}$ }是等比数列；

(2)、求数列{b_n}的通项公式及数列{a_nb_n}的前n项和S_n ．

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19. 某校为了在竞争中更好的发展，校领导专门聘请省内外专家组成“学校建设和发展”专家顾问委员会，项专家接脑、帮助学校制定未来五年发展规划，并召开了座谈会，问需于民，问计与民，广泛征询专家，普通老师和同学们对学校发展的意见和建议，此次座谈会共邀请了50名代表参加，他们分别是专家20人，普通教师15人，学生15人，现从50名代表中随机选出3名做典型发言．

(1)、求选出的3名代表中，专家比普通教师多一人的概率；

(2)、若记选出的3名代表中专家的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

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20. 在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，BC=2AB=1，PC= $\sqrt{3}$ ，∠PBA= $\frac{π}{4}$ ．

(1)、求证：BC⊥PB；

(2)、求二面角A﹣PC﹣B的大小．

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21. 已知抛物线C₁：y²=2x与椭圆C₂： $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{4}$ =1在第一象限交于点A，直线y= $\sqrt{2}$ x+m与椭圆C₂交于B、D两点，且A，B，D三点两两互不重合．

(1)、求m的取值范围；

(2)、△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？

(3)、求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．

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22. 已知函数f（x）=axlnx﹣x+1（a≥0）．

(1)、当a=1时，求f（x）的最小值；

(2)、若x∈（1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；

(3)、证明：当m＞n＞1时，mⁿ^﹣¹＜n^m^﹣¹ ．

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