难点八立体几何中的空间角与距离

试卷更新日期：2018-03-02 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 直三棱柱ABC－ $A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝ $A A_{1}$ ，则异面直线 $B A_{1}$ 与 $A C_{1}$ 所成的角等于 (　　)

A、60° B、45° C、30° D、90°

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2. 已知某三棱锥的三视图如图所示，图中的3个直角三角形的直角边长度已经标出，则在该三棱锥中，最短的棱和最长的棱所在直线的成角余弦值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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3. 直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，底面是正三角形，三棱往的高为 $\sqrt{3}$ ，若P是△A₁B₁C₁中心，且三棱柱的体积为 $\frac{9}{4}$ ，则PA与平面ABC所成的角大小是（　　）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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4. 已知a，b为异面直线，下列结论不正确的是（　　）

A、必存在平面α使得a∥α，b∥α B、必存在平面α使得a，b与α所成角相等 C、必存在平面α使得a⊂α，b⊥α D、必存在平面α使得a，b与α的距离相等

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5. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P B = P C$ ，底面 $△ A B C$ 是正三角形，M、N分别是侧棱PB、PC的中点．若平面 $A M N ⊥$ 平面 $P B C$ ，则平面 $A M N$ 与平面 $A B C$ 所成二面角（锐角）的余弦值等于( )

A、 $\frac{\sqrt{30}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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6. 如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，P为A₁D₁的中点，Q为A₁B₁上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（）

A、点Q到平面PEF的距离 B、直线PE与平面QEF所成的角 C、三棱锥P﹣QEF的体积 D、二面角P﹣EF﹣Q的大小

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7.
在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则点 $C_{1}$ 到平面 $B_{1} E F$ 的距离等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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8. 四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是正方形，各侧棱长与底面的边长均相等，M为SA的中点，则直线BM与SC所成的角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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9. 如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AA₁=2，AC= $\sqrt{2}$ ，过BC的中点D作平面ACB₁的垂线，交平面ACC₁A₁于E，则BE与平面ABB₁A₁所成角的正切值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$

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10. 如图在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AA₁=2，AC= $\sqrt{2}$ ，过BC的中点D作平面ACB₁的垂线，交平面ACC₁A₁于E，则点E到平面BB₁C₁C的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11. 已知正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的侧棱长与底面边长相等，则AB₁与侧面ACC₁A₁所成角的正弦等于（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12. 如图四边形ABCD，AB=BD=DA=2．BC=CD= $\sqrt{2}$ ，现将△ABD沿BD折起，使二面角A﹣BD﹣C的大小在[ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{5 π}{6}$ ]，则直线AB与CD所成角的余弦值取值范围是（）

A、[0， $\frac{\sqrt{2}}{8}$ ]∪（ $\frac{5 \sqrt{2}}{8}$ ，1） B、[ $\frac{\sqrt{2}}{8}$ ， $\frac{5 \sqrt{2}}{8}$ ] C、[0， $\frac{\sqrt{2}}{8}$ ] D、[0， $\frac{5 \sqrt{2}}{8}$ ]

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二、填空题

13. 有共同底边的等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为．

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14. 在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的大小为．

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15. 已知正三棱锥D﹣ABC侧棱两两垂直，E为棱AD中点，平面α过点A，且α∥平面EBC，α∩平面ABC=m，α∩平面ACD=n，则m，n所成角的余弦值是．

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16. 已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，AB=AC=5，BC=8，AD⊥底面ABC，G为△ABC的重心，且直线DG与底面ABC所成角的正切值为 $\frac{1}{2}$ ，则球O的表面积为．

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三、解答题

17.
如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：PB⊥AD；
（Ⅱ）若PB= $\sqrt{6}$ ，求点C到平面PBD的距离．

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18. 在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD﹣A₁C₁D₁ ，且这个几何体的体积为10．
（Ⅰ）求棱AA₁的长；
（Ⅱ）若A₁C₁的中点为O₁ ，求异面直线BO₁与A₁D₁所成角的余弦值．

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19.
如图，多面体EF﹣ABCD中，ABCD是正方形，AC、BD相交于O，EF∥AC，点E在AC上的射影恰好是线段AO的中点．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACF；
（Ⅱ）若直线AE与平面ABCD所成的角为60°，求平面DEF与平面ABCD所成角的正弦值．

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20. 如图所示，在四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB₁A₁为菱形，∠DAB=∠DAA₁ ．
（Ⅰ）求证：A₁B⊥BC；
（Ⅱ）若AD=AB=3BC，∠A₁AB=60°，点D在平面ABB₁A₁上的射影恰为线段A₁B的中点，求平面DCC₁D₁与平面ABB₁A₁所成锐二面角的大小．

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难点八 立体几何中的空间角与距离

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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