难点四数列的通项公式与求和问题及探索等综合问题

试卷更新日期：2018-03-02 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{m - 1} + a_{m + 1} - a_{m}^{2} = 0$ ， $S_{2 m - 1} = 38$ ，则 $m =$ （）

A、38 B、20 C、10 D、9

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2. 等差数列{a_n}的前n项为S_n ，若公差d=﹣2，S₃=21，则当S_n取得最大值时，n的值为（　　）

A、10 B、9 C、6 D、5

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d \neq 0$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{13}$ 成等比数列，若 $a_{1} = 1$ ， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $\frac{2 S_{n} + 16}{a_{n} + 3}$ 的最小值为（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $2 \sqrt{3} - 2$ D、 $\frac{9}{2}$

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4. 设S_n为数列{a_n}的前n项的和，且 $S_{n} = \frac{3}{2} (a_{n} - 1) (n \in N^{*})$ ，则a_n=（　　）

A、3（3ⁿ﹣2ⁿ） B、3ⁿ+2ⁿ C、3ⁿ D、3•2ⁿ^﹣1

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5. 已知数列{a_n}满足： $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n} + 2} (n \in N *)$ ， $C_{n} = (1 + \frac{1}{a_{n}}) (\frac{2}{n + 1} - λ)$ ，若{C_n}是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（）

A、λ $\geq \frac{1}{3}$ B、λ $> \frac{1}{3}$ C、λ $\geq \frac{4}{3}$ D、λ $> \frac{4}{3}$

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6. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ,且满足 $S_{17} > 0, S_{18} < 0$ ,则 $\frac{S_{1}}{a_{1}}, \frac{S_{2}}{a_{2}}, \dots, \frac{S_{15}}{a_{15}}$ 中最大的项为（）

A、 $\frac{S_{7}}{a_{7}}$ B、 $\frac{S_{8}}{a_{8}}$ C、 $\frac{S_{10}}{a_{10}}$ D、 $\frac{S_{9}}{a_{9}}$

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7. 等差数列{a_n}的公差为d，关于x的不等式dx²+2a₁x≥0的解集为[0，9]，则使数列{a_n}的前n项和S_n最大的正整数n的值是（　　）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8. 已知正项数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，2a_n²=a_n₊₁²+a_n_﹣₁²（n≥2），则a₆等于（）

A、16 B、8 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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9. 若{a_n}是等差数列，首项a₁＞0，a₂₀₁₆+a₂₀₁₇＞0，a₂₀₁₆ ． a₂₀₁₇＜0，则使前n项和S_n＞0成立的最大自然数n是（　　）

A、4031 B、4033 C、4034 D、4032

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10. 数列{a_n}满足a_n₊₁+（﹣1）ⁿa_n=2n﹣1，则{a_n}的前60项和为（）

A、3690 B、3660 C、1845 D、1830

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11. 已知正项数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，2a_n²=a_n_﹣₁²+a_n₊₁²（n≥2），b_n= $\frac{1}{a_{n} + a_{n + 1}}$ ，记数列{b_n}的前n项和为S_n ，则S₃₃的值是（）

A、 $\sqrt{99}$ B、 $\sqrt{33}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、3

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12. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{a_{n - 1}} = \frac{1}{a_{n}^{2} + a_{n}}$ ，用 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，则 $[\frac{1}{a_{1} + 1} + \frac{1}{a_{2} + 1} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{2013} + 1}]$ 的值等于（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

13. 用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3]=3，[1.2]=1，[﹣1.3]=﹣2．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n₊₁=a_n²+a_n ，则[ $\frac{a_{1}}{a_{1} + 1}$ + $\frac{a_{2}}{a_{2} + 1}$ +…+ $\frac{a_{2016}}{a_{2016} + 1}$ ]= ．

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14. 已知数列{ a_n}的前n项和为S_n ，且满足：a₁=1，a₂=2，S_n+1=a_n₊₂﹣a_n₊₁（n∈N*），则S_n= ．

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15. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，且满足S_n=2a_n﹣2，若数列{b_n}满足b_n=10﹣log₂a_n ，则使数列{b_n}的前n项和取最大值时的n的值为．

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16. 对于数列{a_n}，定义 $H_{n} = \frac{a_{1} + 2 a_{2} + \dots + 2^{n - 1} a_{n}}{n}$ 为{a_n}的“优值”，现在已知某数列{a_n}的“优值” $H_{n} = 2^{n + 1}$ ，记数列{a_n﹣kn}的前n项和为S_n ，若S_n≤S₅对任意的n∈N⁺恒成立，则实数k的最大值为．

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三、解答题

17. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ， S_n=n²+n．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若a_k₊₁ ， a_2k ， a_2k₊₃（k∈N^*）恰好依次为等比数列{b_n}的第一、第二、第三项，求数列{ $\frac{n}{b_{n}}$ }的前n项和T_n ．

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18. 已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前四项和S₄=14，且a₁ ， a₃ ， a₇成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n为数列{ $\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ }的前n项和，若T_n≤λa_n₊₁对∀n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

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19. 已知单调递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂ ， a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n•log₂a_n ，其前n项和为S_n ，若（n﹣1）²≤m（S_n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的取值范围．

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20. 已知数列{a_n}中，a₂=a（a为非零常数），其前n项和S_n满足：S_n= $\frac{n (a_{n} - a_{1})}{2} (n \in N^{*})$
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a=2，且 $\frac{1}{4}$ a_m²﹣S_n=11，求m、n的值；
（3）是否存在实数a、b，使得对任意正整数p，数列{a_n}中满足a_n+b≤p的最大项恰为第3p﹣2项？若存在，分别求出a与b的取值范围；若不存在，请说明理由．

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难点四 数列的通项公式与求和问题及探索等综合问题

一、单选题

二、填空题

三、解答题

难点四数列的通项公式与求和问题及探索等综合问题