2015-2016学年福建省八县一中高二下学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-11-11 类型：期末考试

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一、选择题

1. 有6位同学报名参加三个数学课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有（）

A、3⁶ B、6³ C、 $A_{6}^{3}$ D、 $C_{6}^{3}$

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2. 若随机变量ξ～B（10， $\frac{3}{5}$ ），则D（5ξ﹣3）等于（）

A、9 B、12 C、57 D、60

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3. 已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ²），若P（ξ＞2）=0.2，则P（0≤ξ≤1）=（）

A、0.2 B、0.3 C、0.4 D、0.6

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4. 给出下列四个命题：
①由样本数据得到的回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 必过样本点的中心（ $\bar{x}$ ， $\bar{y}$ ）；
②用相关指数R²来刻画回归效果，R²的值越小，说明模型的拟合效果越好；
③若线性回归方程为 $\hat{y}$ =3﹣2.5x，则变量x每增加1个单位时，y平均减少2.5个单位；
④在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，残差平方和越小．
上述四个命题中，正确命题的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 某校高二年段共有10个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年段的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方法共有（）

A、540种 B、270种 C、180种 D、90种

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6. 设a∈Z，且0≤a＜13，若51²⁰¹⁶+a能被13整除，则a=（）

A、0 B、1 C、11 D、12

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7. 在10件同类型的产品中有2件次品，现抽取3件进行检验，每次抽取1件，并且取出后不再放回，则取出的3件产品中至少有1件次品的概率为（）

A、 $\frac{7}{10}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{8}{15}$ D、 $\frac{7}{15}$

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8. 要从n名学生组成的小组中任意选派3人去参加社会实践活动，若在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为0.25，则n的值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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9. 高二某班班会选出包含甲、乙、丙的5名学生发言，要求甲、乙两人的发言顺序必须相邻，而乙、丙两人的发言顺序不能相邻，那么不同的发言顺序共有（）

A、48种 B、36种 C、24种 D、12种

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10. 从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{6}$ ，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为（）

A、 $\frac{5}{36}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11. 从7本不同的书中选出4本，分别发给4名学生，每人一本．已知其中A、B两本书不能发给学生丙，则不同的分配方法有（）

A、720 B、600 C、480 D、360

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12. 如图所示的分数三角形，称为“莱布尼茨三角形”．这个三角形的规律是：各行中的每一个数，都等于后面一行中与它相邻的两个数之和（例如第4行第2个数 $\frac{1}{12}$ 等于第5行中的第2个数 $\frac{1}{20}$ 与第3个数 $\frac{1}{30}$ 之和）．则
在“莱布尼茨三角形”中，第10行从左到右第2个数到第8个数中各数的倒数之和为（）

A、5010 B、5020 C、10120 D、10130

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二、填空题

13. 某地对5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示：
x
9
9.5
10
10.5
11
y
11
10
8
6
m
由表中数据，求得y关于x的线性回归方程为 $\hat{y}$ =﹣3.2x+40，则表中的实数m= ．

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14. 投篮测试中，某同学投3次，每次投篮投中的概率相同，且各次投篮是否投中相互独立．已知他至少投中一次的概率为 $\frac{26}{27}$ ，则该同学每次投篮投中的概率为．

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15. 在（1+x+x²）（x﹣ $\frac{1}{x}$ ）⁶的展开式中，x²的系数为（结果用数字表示）．

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16. 已知集合A={x|x=a₀+a₁×2+a₂×2²+a₃×2³}，其中a_i∈{0，1，2}（i=0，1，2，3），且a₀≠0，则A中所有元素之和等于．

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三、解答题

17. 已知二项式（ $\sqrt[3]{x}$ ﹣ $\frac{1}{x}$ ）ⁿ展开式中的各项系数的绝对值之和为128．

(1)、求展开式中系数最大的项；

(2)、求展开式中所有的有理项．

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18. 某市在对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．

(1)、某校高二年级有男生500人，女生400人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高二学生中抽取了90名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数统计如表：
等级
优秀
合格
不合格
男生（人）
30
x
8
女生（人）
30
6
y
根据表中统计的数据填写下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”？
男生
女生
总计
优秀
非优秀
总计
临界值表：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k₀
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(2)、以（1）中抽取的90名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高二学生中随机抽取4人．
（i）求所选4人中恰有3人综合素质评价为“优秀”的概率；
（ii）记X表示这4人中综合素质评价等级为“优秀”的人数，求X的数学期望．
附：参考数据与公式
参考公式：K²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n=a+b+c+d．

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19. 某商场每天以每件100元的价格购入A商品若干件，并以每件200元的价格出售，若所购进的A商品前8小时没有售完，则商场对没卖出的A商品以每件60元的低价当天处理完毕（假定A商品当天能够处理完）．该商场统计了100天A商品在每天的前8小时的销售量，制成如表格．
前8小时的销售量t（单位：件）
5
6
7
频数
40
35
25

(1)、若某天该商场共购入7件A商品，在前8个小时售出5件．若这些产品被7名不同的顾客购买，现从这7名顾客中随机选3人进行回访，记X表示这3人中以每件200元的价格购买的人数，求X的分布列；

(2)、将频率视为概率，要使商场每天购进A商品时所获得的平均利润最大，则每天应购进几件A商品，并说明理由．

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20. 在某学校组织的一次智力竞赛中，比赛共分为两个环节，其中第一环节竞赛题有A、B两组题，每个选手最多有3次答题机会，答对一道A组题得20分，答对一道B组题得30分．选手可以任意选择答题的顺序，如果前两次得分之和超过30分即停止答题，进入下一环节比赛，否则答3次．某同学正确回答A组题的概率都是p，正确回答B组题的概率都是 $\frac{1}{4}$ ，且回答正确与否相互之间没有影响．该同学选择先答一道B组题，然后都答A组题．已知第一环节比赛结束时该同学得分超过30分的概率为 $\frac{5}{9}$ ．

(1)、求p的值；

(2)、用ξ表示第一环节比赛结束后该同学的总得分，求随机变量ξ的数学期望；

(3)、试比较该同学选择都回答A组题与选择上述方式答题，能进入下一环节竞赛的概率的大小．

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21. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C₁的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 \cos ϕ \\ y = 2 + 2 \sin ϕ \end{matrix}$ （φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=4 $\sqrt{3}$ cosθ．

(1)、求C₁与C₂交点的直角坐标；

(2)、已知曲线C₃的参数方程为 ${\begin{matrix} x = t \cos α \\ y = t \sin α \end{matrix}$ （0≤α＜π，t为参数，且t≠0），C₃与C₁相交于点P，C₂与C₃相交于点Q，且|PQ|=8，求α的值．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + \frac{1}{2} t \\ y = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix}$ （t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为ρ=2．

(1)、若点M的直角坐标为（2， $\sqrt{3}$ ），直线l与曲线C₁交于A、B两点，求|MA|+|MB|的值．

(2)、设曲线C₁经过伸缩变换 ${\begin{matrix} x = 2 + \frac{1}{2} t \\ y = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix}$ 得到曲线C₂ ，求曲线C₂的内接矩形周长的最大值．

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等级	优秀	合格	不合格
男生（人）	30	x	8
女生（人）	30	6	y

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

x	9	9.5	10	10.5	11
y	11	10	8	6	m

	男生	女生	总计
优秀
非优秀
总计

前8小时的销售量t（单位：件）	5	6	7
频数	40	35	25