难点二导数与不等式相结合问题

试卷更新日期：2018-02-09 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 定义在R上的函数y=f（x），恒有f（x）=f（2﹣x）成立，且f′（x）（x﹣1）＞0，对任意的x₁＜x₂ ，则f（x₁）＜f（x₂）成立的充要条件是（）

A、x₂＞x₁≥1 B、x₁+x₂＞2 C、x₁+x₂≤2 D、x₂ $> x_{1} \geq \frac{1}{2}$

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2. 设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x² ，则不等式（x+2017）²f（x+2017）﹣9f（﹣3）＞0的解集（）

A、（﹣∞，﹣2020） B、（﹣∞，﹣2014） C、（﹣2014，0） D、（﹣2020，0）

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3. 设函数f′（x）是偶函数f（x）的导函数，当x≠0时，恒有xf′（x）＞0，记a=f（log_0.53），b=f（log₂5），c=f（log₃2），则a，b，c的大小关系为（）

A、a＜b＜c B、a＜c＜b C、c＜b＜a D、c＜a＜b

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4. 定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），f（0）=0．若对任意x∈R，都有f（x）＞f′（x）+1，则使得f（x）+e^x＜1成立的x的取值范围为（）

A、（﹣∞，0） B、（﹣∞，1） C、（﹣1，+∞） D、（0，+∞）

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5. 已知f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x）﹣f（x）＞1，f（0）=2016，则不等式f（x）＞2017•e^x﹣1（其中e为自然对数的底数）的解集为（）

A、（﹣∞，0）∪（0，+∞） B、（2017，+∞） C、（0，+∞） D、（0，+∞）∪（2017，+∞）

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6. 已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），若对于任意实数x，有f（x）＞f′（x），且f（0）=1，则不等式f（x）＜e^x的解集为（）

A、（﹣∞，0） B、（0，+∞） C、（﹣∞，e⁴） D、（e⁴ ， +∞）

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7. f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0且f（﹣1）=0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为（　　）

A、（﹣1，0）∪（1，+∞） B、（﹣1，0）∪（0，1） C、（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D、（﹣∞，﹣1）∪（0，1）

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8. 已知定义域为R的偶函数f（x），其导函数为f'（x），对任意x∈[0，+∞），均满足：xf'（x）＞﹣2f（x）．若g（x）=x²f（x），则不等式g（2x）＜g（1﹣x）的解集是（）

A、（﹣∞，﹣1） B、 $(- \infty ， \frac{1}{3})$ C、 $(- 1 ， \frac{1}{3})$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (\frac{1}{3} ， + \infty)$

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9. 设定义在R上的偶函数y=f（x），满足对任意t∈R都有f（t）=f（2﹣t），且x∈（0，1]时，f（x）= $\frac{x}{e^{x}}$ ，a=f（ $\frac{2015}{3}$ ），b=f（ $\frac{2016}{5}$ ），c=f（ $\frac{2017}{7}$ ），则（）

A、b＜c＜a B、a＜b＜c C、c＜a＜b D、b＜a＜c

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10. 已知函数f（x）的定义域为R，f′（x）为函数f（x）的导函数，当x∈[0．+∞）时，2sinxcosx﹣f′（x）＞0且∀x∈R，f（﹣x）+f（x）+cos2x=1．则下列说法一定正确的是（）

A、 $\frac{1}{4}$ ﹣f（﹣ $\frac{5 π}{6}$ ）＞ $\frac{3}{4}$ ﹣f（﹣ $\frac{2 π}{3}$ ） B、 $\frac{1}{4}$ ﹣f（﹣ $\frac{5 π}{6}$ ）＞ $\frac{3}{4}$ ﹣f（﹣ $\frac{4 π}{3}$ ） C、 $\frac{3}{4}$ ﹣f（ $\frac{π}{3}$ ）＞ $\frac{1}{2}$ ﹣f（ $\frac{3 π}{4}$ ） D、 $\frac{1}{2}$ ﹣f（﹣ $\frac{3 π}{4}$ ）＞ $\frac{3}{4}$ ﹣f（ $\frac{π}{3}$ ）

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11. 设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有xf′（x）＞x²+3f（x），则不等式8f（x+2014）+（x+2014）³f（﹣2）＞0的解集为（）

A、（﹣∞，﹣2016） B、（﹣2018，﹣2016） C、（﹣2018，0） D、（﹣∞，﹣2018）

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12. 设函数f（x）= $e^{x} (x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 6 x + 2) - 2 a e^{x}$ ﹣x，若不等式f（x）≤0在[﹣2，+∞）上有解，则实数a的最小值为（）

A、 $- \frac{3}{2} - \frac{1}{e}$ B、 $- \frac{3}{2} - \frac{2}{e}$ C、 $- \frac{3}{4} - \frac{1}{2 e}$ D、 $- 1 - \frac{1}{e}$

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二、填空题

13. 定义在 $R$ 上的可导函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ 满足 $f^{'} (x) > 2 x$ 恒成立，则不等式 $f (4 - x) < f (x) - 8 x + 16$ 的解集为．

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14. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若g（x）=f（x+1）+5，g′（x）为g（x）的导函数，对∀x∈R，总有g′（x）＞2x，则g（x）＜x²+4的解集为．

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15. 已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足xf′（x）＞f（x），则不等式（x﹣1）f（x+1）＞f（x²﹣1）的解集是．

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16. 已知函数f（x）= $\frac{1}{3}$ x³+x²+ax，若g（x）= $\frac{1}{e^{x}}$ ，对任意x₁∈[ $\frac{1}{2}$ ，2]，存在x₂∈[ $\frac{1}{2}$ ，2]，使f'（x₁）≤g（x₂）成立，则实数a的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知函数 f（x）=2lnx+x²﹣ax．
（Ⅰ）当a=5时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂）是曲线y=f（x）图象上的两个相异的点，若直线AB的斜率k＞1恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设函数f（x）有两个极值点x₁ ， x₂ ， x₁＜x₂且x₂＞e，若f（x₁）﹣f（x₂）≥m恒成立，求实数m的取值范围．

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18. 已知函数f（x）= $\frac{1 + l n x}{x - 1}$ ．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）若不等式f（x）＞ $\frac{k}{x} (x > 1)$ 恒成立，求整数k的最大值；
（III）求证：（1+1×2）•（1+2×3）…（1+n（n×1））＞e²ⁿ^﹣3（n∈N^*）．

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19. 已知函数f（x）=lnx﹣2ax（其中a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）+ $\frac{1}{2}$ x² ，且函数g（x）有极大值点x₀ ，求证：x₀f（x₀）+1+ax₀²＞0．

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20. 已知函数f（x）=lnx﹣a（a∈R）与函数 $F (x) = x + \frac{2}{x}$ 有公共切线．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）若不等式xf（x）+e＞2﹣a对于x＞0的一切值恒成立，求a的取值范围．

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难点二 导数与不等式相结合问题

一、单选题

二、填空题

三、解答题

难点二导数与不等式相结合问题