河北省衡水市衡水一中2018届高三文数八模考试试卷

试卷更新日期：2018-02-08 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} + x - 2 \leq 0}$ ， $B = {x | 0 \leq x \leq 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 2, 4]$ B、 $[0, 1]$ C、 $[- 1, 4]$ D、 $[0, 2]$

查看试题解析
2. 若 $z = 1 + 2 i$ ，则 $\frac{4 i}{z \bar{z} - 1} =$ （）

A、1 B、-1 C、i D、-i

查看试题解析
3. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，实轴长为8，离心率为 $\frac{5}{4}$ ，则它的渐近线的方程为（）

A、 $y = \pm \frac{4}{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$ C、 $y = \pm \frac{9}{16} x$ D、 $y = \pm \frac{3}{4} x$

查看试题解析
4. 设 $a = {log}_{\frac{1}{2}} 3$ ， $b = {(\frac{1}{3})}^{0.2}$ ， $c = 2^{\frac{1}{3}}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

查看试题解析
5. $Δ A B C$ 的外接圆的圆心为 $O$ ，半径为1， $2 \overset{⇀}{A O} = \overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A C}$ ，且 $| \overset{⇀}{O A} | = | \overset{⇀}{A B} |$ ，则向量 $\overset{⇀}{C A}$ 在向量 $\overset{⇀}{C B}$ 方向上的投影为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

查看试题解析
6. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2 ， a_{8} = 4$ ，函数 $f (x) = x (x - a_{1}) (x - a_{2}) \dots (x - a_{8})$ ，则 $f^{'} (0) =$ （）

A、 $2^{6}$ B、 $2^{9}$ C、 $2^{12}$ D、 $2^{15}$

查看试题解析
7. 已知函数 $f (x) = 2 sin (ω x + φ)$ $(0 < φ < \frac{π}{2})$ 与 $y$ 轴的交点为 $(0 ， 1)$ ，且图象上两对称轴之间的最小距离为 $\frac{π}{2}$ ，则使 $f (x + t) - f (- x + t) = 0$ 成立的 $| t |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

查看试题解析
8. 规定：对任意的各位数字不全相同的三位数，若将各位数字按照从大到小、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“和谐数”；若将各位数字按照从小到大、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“新时代数”.如图，若输入的 $a = 891$ ，则输出的 $n$ 为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

查看试题解析
9. 如图所示，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，AB=AD=1，AA₁= $\sqrt{2}$ 面对角线 $B_{1} D_{1}$ 上存在一点 $P$ 使得 $A_{1} P + P B$ 最短，则 $A_{1} P + P B$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$ C、 $2 + \sqrt{2}$ D、 $2$

查看试题解析
10. 已知三棱锥 $S - A B C$ 外接球的表面积为32 $π$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，三棱锥 $S - A B C$ 的三视图如图所示，则其侧视图的面积的最大值为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、8 D、 $4 \sqrt{7}$

查看试题解析
11. 在 $△ A B C$ 中，三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，且 $4 S = {(a + b)}^{2} - c^{2}$ ，则 $sin (\frac{π}{4} + C)$ 等于（）

A、 $1$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
12. 如图，函数 $f (x)$ 的图象为折线 $A B C$ ，则不等式 $f (x) \geq x e^{x}$ 的解集是（）

A、 $[- 3 ， 0]$ B、 $[- 3 ， 1]$ C、 $[- 3 ， 2]$ D、 $[- \infty ， 1]$

查看试题解析

二、填空题

13. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} y \leq x \\ x + y \leq 1 \\ y \geq - 1 \end{matrix}$ ，则目标函数 $z = 2 x - y$ 的最大值为．

查看试题解析
14. 我市某小学三年级有甲、乙两个班，其中甲班有男生30人，女生20人，乙班有男生25人，女生25人，现在需要各班按男、女生分层抽取 $20 %$ 的学生进行某项调查，则两个班共抽取男生人数是．

查看试题解析
15. 已知抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 与圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = r^{2}$ $(r > 0)$ 有公共点 $P$ ，若抛物线在 $P$ 点处的切线与圆 $C$ 也相切，则 $r =$ ．

查看试题解析
16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{2} cos \frac{n π}{2}$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $\frac{S_{2021}}{2020} =$ ．

查看试题解析

三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = a sin (\frac{π}{4} x)$ （ $a > 0$ ）在同一半周期内的图象过点 $O$ ， $P$ ， $Q$ ，其中 $O$ 为坐标原点， $P$ 为函数 $f (x)$ 图象的最高点， $Q$ 为函数 $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴的正半轴的交点， $△ O P Q$ 为等腰直角三角形.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、将 $△ O P Q$ 绕原点 $O$ 按逆时针方向旋转角 $α (0 < α < \frac{π}{4})$ ，得到 $△ O P^{'} Q^{'}$ ，若点 $P^{'}$ 恰好落在曲线 $y = \frac{3}{x}$ （ $x > 0$ ）上（如图所示），试判断点 $Q^{'}$ 是否也落在曲线 $y = \frac{3}{x}$ （ $x > 0$ ）上，并说明理由.

查看试题解析
18. 如图，底面为等腰梯形的四棱锥 $E - A B C D$ 中， $E A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $F$ 为 $E A$ 的中点， $A B / / C D$ ， $A B = 2 C D$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ .

(1)、证明： $D F / /$ 平面 $E B C$ ；

(2)、若 $A E = A B = 2$ ，求三棱锥 $E - B C F$ 的体积.

查看试题解析

19. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为

a

元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：

交强险浮动因素和浮动费率比率表
	浮动因素	浮动比率
$A_{1}$	上一个年度未发生有责任道路交通事故	下浮10%
$A_{2}$	上两个年度未发生有责任道路交通事故	下浮20%
$A_{3}$	上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故	下浮30%
$A_{4}$	上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故	0%
$A_{5}$	上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故	上浮10%
$A_{6}$	上一个年度发生有责任道路交通死亡事故	上浮30%

某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：

类型	$A_{1}$	$A_{2}$	$A_{3}$	$A_{4}$	$A_{5}$	$A_{6}$
数量	10	5	5	20	15	5

以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：

$(Ⅰ)$ 求一辆普通6座以下私家车（车险已满三年）在下一年续保时保费高于基本保费的频率；

$(Ⅱ)$ 某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元.且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：

①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选两辆车，求这两辆车恰好有一辆为事故车的概率；

②若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值.

查看试题解析

20. 已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 与直线 $3 x - 4 y + 15 = 0$ 相切.

(1)、若直线 $l_{2} y = - 2 x + 5$ 与圆 $O$ 交于 $M, N$ 两点，求 $| M N |$ ；

(2)、设圆 $O$ 与 $x$ 轴的负半轴的交点为 $A$ ，过点 $A$ 作两条斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ 的直线交圆 $O$ 于 $B, C$ 两点，且 $k_{1}, k_{2} = - 3$ ，试证明直线 $B C$ 恒过一定点，并求出该定点的坐标.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = k e^{x} - x^{2}$ （其中 $k \in R ， e$ 是自然对数的底数）

(1)、若 $k = 2$ ，当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时，试比较 $f (x)$ 与2的大小；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求 $k$ 的取值范围，并证明： $0 < f (x_{1}) < 1.$

查看试题解析
22. 在直角坐标系中，以原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ cos (θ + \frac{π}{3}) = 3$ ，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 a cos θ (a > 0)$ .

(1)、设 $t$ 为参数，若 $y = - 2 \sqrt{3} + \frac{1}{2} t$ ，求直线 $l$ 的参数方程；

(2)、已知直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $P ， Q$ ，设 $M (0 ， - 2 \sqrt{3})$ ，且 $| P Q |^{2} = | M P | | M Q |$ ，求实数 $a$ 的值.

查看试题解析
23. 已知 $f (x) = | x - a^{2} | + | x + 2 a + 3 |$ ．

(1)、证明： $f (x) \geq 2$ ；

(2)、若 $f (- \frac{3}{2}) < 3$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

查看试题解析