辽宁省沈阳市郊联体2017-2018学年高三上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-02-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | | x - 1 | < 2}$ ， $B = {x | {log}_{2} x 〉 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1 ， 3)$ B、 $(0 ， 3)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(- 1 ， 4)$

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2. 设向量 $\overset{⇀}{a} = (2 ， m)$ ， $\overset{⇀}{b} = (1 ， - 1)$ ，若 $\overset{⇀}{b} ⊥ (\overset{⇀}{a} + 2 \overset{⇀}{b})$ ，则实数 $m$ 等于（）

A、2 B、4 C、6 D、-3

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3. $i$ 为虚数单位，已知复数 $z$ 满足 $\frac{2}{1 + i} = \bar{z} + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $- 1 + i$ C、 $1 - 2 i$ D、 $1 + 2 i$

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4. 已知 $sin (\frac{3 π}{2} + α) = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (π - 2 α)$ 的值等于（）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $- \frac{7}{9}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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5. 若 $f (x) = {\begin{matrix} l n x ， x > 1 \\ 2 x + \int \begin{matrix} m \\ 0 \end{matrix} 3 t^{2} d t ， x \leq 1 \end{matrix}$ ，且 $f (f (e)) = 10$ ，则 $m$ 的值为（）

A、2 B、-1 C、1 D、-2

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6. 高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有（）

A、16种 B、18种 C、37种 D、48种

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7. 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人作了案”；丁说：“乙说的是事实”。经过调查核实，四个人中有两个人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四个人中只有一名罪犯，说真话的人是（）

A、甲、乙 B、甲、丙 C、乙、丁 D、甲、丁

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8. 一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为 $\frac{2 π}{3}$ 的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的体积为（）

A、 $\frac{20 \sqrt{5}}{3} π$ B、 $\frac{20}{3} π$ C、 $25 π$ D、 $25 \sqrt{5} π$

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9. 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输出的 $m$ 的值为0，则输入的 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{189}{64}$ B、 $\frac{93}{32}$ C、 $\frac{45}{16}$ D、 $\frac{21}{8}$

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10. 定义行列式运算 $| \begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} \end{matrix} | = a_{1} a_{4} - a_{2} a_{3}$ ，将函数 $f (x) = | \begin{matrix} \sqrt{3} & sin x \\ 1 & cos x \end{matrix} |$ 的图像向左平移 $n (n > 0)$ 个单位，所得图像关于 $y$ 轴对称，则 $n$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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11. 如图，抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 和圆 $x^{2} + y^{2} - p x = 0$ ，直线 $l$ 经过抛物线的焦点，依次交抛物线与圆 $A ， B ， C ， D$ 四点， $| A B | • | C D | = 2$ ，则 $p$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} \frac{1}{3} x + 1 ， x \leq 1 \\ l n x ， x > 1 \end{matrix}$ 若方程 $f (x) - a x = 0$ 恰有两个不同的解，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{3})$ B、 $[\frac{1}{3} ， \frac{1}{e})$ C、 $(\frac{1}{e} ， \frac{4}{3}]$ D、 $(- \infty ， 0] \cup [\frac{4}{3} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 若变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \geq - 1 \\ 2 x - y \leq 1 \\ y \leq 1 \end{matrix}$ ，则 $z = 3 x - y$ 的最小值为．

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14. 在 $Δ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别为角A，B，C的对边， $B = \frac{2 π}{3}$ ，若 $a^{2} + c^{2} = 4 a c$ ，则 $\frac{sin (A + C)}{sin A sin C} =$ ．

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15. 已知下列命题：
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每30分钟从生产流水线中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样方法是系统抽样；
②两个变量的线性相关程度越强，则相关系数的值越接近于1；
③两个分类变量 $X$ 与 $Y$ 的观测值 $k^{2}$ ，若 $k^{2}$ 越小，则说明“ $X$ 与 $Y$ 有关系”的把握程度越大；
④随机变量 $X$ ～ $N (0 ， 1)$ ，则 $P (| X | < 1) = 2 P (X < 1) - 1$ .
其中为真命题的是．

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16. 已知l为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0 ）$ 的一条渐近线， l与圆 ${(x - c)}^{2} + y^{2} = a^{2}$ （其中 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ）相交于A，B两点，若 $| A B | = a$ ，则C的离心率为．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 - b_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，为了解网络外卖在 $A$ 市的普及情况， $A$ 市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到表格（单位：人）.
参考公式： $K^{2} = \frac{n {(n_{11} n_{22} - n_{12} n_{21})}^{2}}{n_{1 +} n_{2 +} n_{+ 1} n_{+ 2}}$ ，其中 $n = n_{1 +} n_{2 +} n_{+ 1} n_{+ 2}$ .
参考数据：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635

(1)、根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为 $A$ 市使用网络外卖的情况与性别有关？

(2)、①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出了3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；
②将频率视为概率，从 $A$ 市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望和方差.

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19. 如图1，在直角梯形ABCD中， $∠ A D C = 90 °$ ， $C D / / A B$ ， $A B = 4 ， A D = C D = 2$ ， M为线段AB的中点. 将 $Δ A D C$ 沿AC折起，使平面ADC $⊥$ 平面ABC，得到几何体 $D - A B C$ ，如图2所示.

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面ACD；

(2)、求二面角 $A - C D - M$ 的余弦值.

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0)$ ，圆 $F_{2} ： x^{2} + y^{2} - 2 \sqrt{3} x - 13 = 0$ ，以动点P为圆心的圆经过点 $F_{1}$ ，且圆P与圆 $F_{2}$ 内切.
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）若直线l过点 $(1 ， 0)$ ，且与曲线E交于 $A ， B$ 两点，则在x轴上是否存在一点 $D (t ， 0) (t \neq 0)$ ，使得x轴平分 $∠ A D B$ ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (a + 2) x + a ln x$ ，其中常数 $a > 0$ .

(1)、当 $a > 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、当 $a = 4$ 时，若函数 $y = f (x) - m$ 有三个不同的零点，求 $m$ 的取值范围；

(3)、设定义在 $D$ 上的函数 $y = h (x)$ 在点 $P (x_{0} ， h (x_{0}))$ 处的切线方程为 $l ： y = g (x)$ ，当 $x \neq x_{0}$ 时，若 $\frac{h (x) - g (x)}{x - x_{0}} > 0$ 在 $D$ 内恒成立，则称 $P$ 为函数 $y = h (x)$ 的“类对称点”，请你探究当 $a = 4$ 时，函数 $y = f (x)$ 是否存在“类对称点”，若存在，请最少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由.

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22. 已知曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = c o s α \\ y = 1 + s i n α \end{matrix}$ ，其中 $α$ 为参数，且 $α \in [- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ ，在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、设 $T$ 是曲线 $C$ 上的一点，直线 $O T$ 与曲线 $C$ 截得的弦长为 $\sqrt{3}$ ，求 $T$ 点的极坐标.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 |$ .

(1)、若不等式 $f (x + \frac{1}{2}) \geq 2 m + 1 (m > 0)$ 的解集为 $(- \infty ， - 2] \cup [2 ， + \infty)$ ，求实数 $m$ 的值；

(2)、若不等式 $f (x) \leq 2^{y} + \frac{a}{2^{y}} + | 2 x + 3 |$ 对任意的实数 $x ， y \in R$ 恒成立，求正实数 $a$ 的最小值.

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635