辽宁省沈阳市郊联体2017-2018学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-02-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 抛物线 $x^{2} = 2 y$ 的准线方程为（）

A、 $y = - 1$ B、 $x = - 1$ C、 $x = - \frac{1}{2}$ D、 $y = - \frac{1}{2}$

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2. 下列说法正确的是：（）

A、若命题 $p : \exists x \in R, x^{2} + x + 1 < 0$ ，则 $\neg p : \forall x \in R, x^{2} + x + 1 > 0$ ； B、命题已知 $x, y \in R$ ，若 $x + y \neq 3$ ，则 $x \neq 2$ 或 $y \neq 1$ 是真命题； C、设 $x \in R$ ，则 $2 + x \geq 0$ 是 $- 1 \leq x \leq 3$ 的充分不必要条件； D、 $\forall x 、 y \in R$ ，如果 $x y = 0$ ，则 $x = 0$ 的否命题是 $\forall x 、 y \in R$ ，如果 $x y = 0$ ，则 $x \neq 0$

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3. 直线 $l$ 过点 $P (- 2, - 4)$ 且与抛物线 $y^{2} = - 8 x$ 只有一个公共点，这样的直线共有（）

A、0条 B、1条 C、2条 D、3条

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4. 双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一个焦点到其渐近线的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5} a$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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5. 已知20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为（）

A、 $\frac{5}{66}$ B、 $\frac{5}{19}$ C、 $\frac{5}{47}$ D、 $\frac{5}{33}$

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6. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入 $A$ 袋或 $B$ 袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为 $\frac{2}{3} 、 \frac{1}{3}$ ，则小球落入 $A$ 袋中的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. ${(x^{2} + 3 x + 2)}^{6}$ 展开式中 $x$ 的系数为（）

A、92 B、576 C、192 D、384

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8. 设 $O$ 为坐标原点，动点 $N$ 在圆 $C : x^{2} + y^{2} = 8$ 上，过 $N$ 作 $y$ 轴的垂线，垂足为 $M$ ，点 $P$ 满足 $\overset{⇀}{M P} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{M N}$ ，则点 $P$ 的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$

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9. 我们可以用计算机产生随机数的方法估计 $π$ 的近似值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（ $S c i l a b$ 中用 $r a n d ()$ 函数来产生 $0 \sim 1$ 的均匀随机数），若输出的结果为524，则由此可估计 $π$ 的近似值为（）

A、3.144 B、3.154 C、3.141 D、3.142

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10. 过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 作倾斜角为 $\frac{π}{6}$ 的直线，交抛物线于 $A 、 B$ 两点，则 $\frac{| A F |}{| B F |} =$ （）

A、 $7 + 4 \sqrt{3}$ B、 $7 - 4 \sqrt{3}$ C、 $7 \pm 4 \sqrt{3}$ D、 $7 \pm 2 \sqrt{3}$

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上有不共线的三点 $A 、 B 、 C$ ，且 $A B 、 B C 、 A C$ 的中点分别为 $D 、 E 、 F$ ，若 $O D 、 O E 、 O F$ 的斜率之和为-2，则 $\frac{1}{k_{A B}} + \frac{1}{k_{B C}} + \frac{1}{k_{A C}} =$ （）

A、-4 B、 $- 2 \sqrt{3}$ C、4 D、6

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12. 2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点 $P$ 变轨进入月球球 $F$ 为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在 $P$ 点第二次变轨进入仍以 $F$ 为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用 $2 c_{1}$ 和 $2 c_{2}$ 分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用 $2 a_{1}$ 和 $2 a_{2}$ 分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子：
① $a_{1} - c_{1} = a_{2} - c_{2}$ ② $a_{1} + c_{1} = a_{2} + c_{2}$ ③ $c_{1} a_{2} > a_{1} c_{2}$ ④ $\frac{c_{1}}{a_{1}} < \frac{c_{2}}{a_{2}}$
其中正确的式子的序号是（）

A、 ②③ B、①④ C、①③ D、②④

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二、填空题

13. 为了了解2000年学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为．

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14. 在平面直角坐标系 $x o y$ 中，已知双曲线的渐近线方程为 $4 x - 3 y = 0$ ，且它与椭圆 $\frac{x^{2}}{30} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 有相同的焦点，则该双曲线方程为．

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15. 如图，椭圆的中心在坐标原点 $O$ ，顶点分别是 $A_{1} 、 A_{2} 、 B_{1} 、 B_{2}$ ，焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，延长 $B_{1} F_{2}$ 与 $A_{2} B_{2}$ 交于 $P$ 点，若 $∠ B_{1} P B_{2}$ 为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是．

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16. 过 $y$ 轴上定点 $P (0, m)$ 的动直线与抛物线 $x^{2} = - 16 y$ 交于 $A 、 B$ 两点，若 $\frac{1}{{| A P |}^{2}} + \frac{1}{{| B P |}^{2}}$ 为定值，则 $m =$ ．

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三、解答题

17. 已知 $a \in R$ ，命题 $P : \forall x \in [1, 2], x^{2} - a \geq 0$ ，命题 $q :$ 已知方程 $\frac{x^{2}}{a + 1} + \frac{y^{2}}{a - 2} = 1$ 表示双曲线．

(1)、若命题 $q$ 为真命题，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若命题 $p \lor q$ 为真命题，命题 $p \land q$ 为假命题，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位： $c m$ ）的茎叶图如下：

(1)、根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；

(2)、从该班身高超过 $180 c m$ 的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；

(3)、在两组身高位于 $[170 ， 180)$ （单位： $c m$ ）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于 $[170 ， 180)$ （单位： $c m$ ）的人数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望．

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19. 已知点 $M$ 与点 $F (4, 0)$ 的距离比它的直线 $l : x + 6 = 0$ 的距离小2．

(1)、求点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、 $O A, O B$ 是点 $M$ 轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线 $A B$ 是否经过 $x$ 轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．

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20. 某高中生调查了当地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成 $[0 ， 2000) 、 (2000 ， 4000] 、 (4000 ， 6000]$ 三组，并作出如下频率分布直方图：
附：临界值表参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ， n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k)$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
$k$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635

(1)、在直方图的经济损失分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以经济损失落入该区间的频率作为经济损失取该区间中点值的概率（例如：经济损失 $x \in [0 ， 2000]$ 则取 $x = 1000$ ，且 $x = 1000$ 的概率等于经济损失落入 $[0 ， 2000]$ 的频率）。现从当地的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出的2户的经济损失的和为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望．

(2)、台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，此高中生调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？

经济损失不超过4000元
经济损失超过4000元
合计
捐款超过500元
30

捐款不超过500元

6

合计

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21. 已知椭圆 $T : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，若椭圆 $T$ 与圆 $P : {(x + \frac{3}{2})}^{2} + y^{2} = 1$ 相交于 $M, N$ 两点，且圆 $P$ 在椭圆 $T$ 内的弧长为 $\frac{2}{3} π$ ．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、过椭圆 $T$ 的中心作两条直线 $A C, B D$ 交椭圆 $T$ 于 $A, C$ 和 $B, D$ 四点，设直线 $A C$ 的斜率为 $k_{1}$ ， $B D$ 的斜率为 $k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = \frac{1}{4}$ ．
①求直线 $A B$ 的斜率；
②求四边形 $A B C D$ 面积的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系 $x o y$ 中，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $ρ sin θ = 2 ， M$ 为曲线 $C_{1}$ 上的动点，点 $P$ 在线段 $O M$ 上，且满足 $| O M | | O P | = 4$ ．

(1)、求点 $P$ 的轨迹 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、直线 $l$ 的参数方程是 ${\begin{matrix} x = t c o s α \\ x = t s i n α \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），其中 $0 \leq α < π$ ． $l$ 与 $C_{2}$ 交于点 $A ， | O A | = \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的斜率．

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$P (K^{2} \geq k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
$k$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

	经济损失不超过4000元	经济损失超过4000元	合计
捐款超过500元	30
捐款不超过500元		6
合计