辽宁省抚顺市六校联合体2017-2018高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-02-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ B = 30 °$ ， $b = 10$ ， $c = 16$ ，则 $sin C$ 等于（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\pm \frac{3}{5}$ C、 $\pm \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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2. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n}$ ，若 $a_{4} = 8$ ，则 $a_{1}$ 等于（）

A、1 B、2 C、64 D、128

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3. 已知椭圆 $x^{2} + \frac{y^{2}}{b^{2} + 1} = 1 (b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，则 $b$ 等于（）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{9}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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4. 命题 $p$ ：若 $a < b$ ，则 $a c^{2} < b c^{2}$ ；命题 $q$ ： $\exists x \in R, x^{2} - x + 1 \leq 0$ ，则下列命题为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $p \lor q$ C、 $(\neg p) \land q$ D、 $p \lor (\neg q)$

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5. 设 $\vec{u} = (2, 2, - 1)$ 是平面 $α$ 的法向量， $\vec{a} = (- 3, 4, 2)$ 是直线 $l$ 的方向向量，则直线 $l$ 与平面 $α$ 的位置关系是（）

A、平行或直线在平面内 B、垂直 C、相交但不垂直 D、不能确定

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6. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 是双曲线上的一点，且 $\vec{F_{1} F_{2}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，则 $| \vec{P F_{1}} |$ 等于（）

A、 $\frac{13}{2}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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7. 下列说法中正确的个数是（）
① $x > 2$ 是 $x^{2} - 2 x > 0$ 的必要不充分条件；
②命题“若 $x = 2$ ，则向量 $\vec{a} = (0, x, 1)$ 与向量 $\vec{b} = (- 1, 1, - 2)$ 垂直”的逆命题是真命题；
③命题“若 $x \neq 1$ ，则 $x^{2} - 3 x + 2 \neq 0$ ”的否命题是“若 $x = 1$ ，则 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ”。

A、0 B、1 C、2 D、3

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8. 若实数 $1, x, y, 4$ 成等差数列， $- 2, a, b, c, - 8$ 成等比数列，则 $\frac{y - x}{b} =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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9. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边是 $a, b, c$ ，若 $\frac{sin C}{sin A} = 2$ ， $b^{2} - a^{2} = \frac{3}{2} a c$ ，则 $cos B$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 的等差数列， $a_{2} = 3$ ， $a_{7} = 13$ ，则数列 ${\frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为（）

A、 $\frac{2 n}{2 n + 1}$ B、 $\frac{n}{2 n + 1}$ C、 $\frac{2 n - 2}{2 n - 1}$ D、 $\frac{n - 1}{2 n - 1}$

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11. 函数 $y = {log}_{a} (x - 3) + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图像恒过定点 $A$ ，若点 $A$ 在直线 $m x + n y - 1 = 0$ 上，其中 $m \cdot n > 0$ ，则 $\frac{4}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为（）

A、16 B、24 C、25 D、50

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $n (a_{n + 1} - a_{n}) = a_{n} + 1$ ， $n \in N^{*}$ ，若对于任意的 $t \in [0, 1]$ ， $n \in N^{*}$ ，不等式 $\frac{a_{n}}{n + 1} < - 2 t^{2} - (a + 1) t + a^{2} - a + 3$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (3, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 2] \cup [1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1] \cup [3, + \infty)$ D、 $[- 1, 3]$

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二、填空题

13. 若实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x + y \leq 4 \\ x \leq 2 y \\ x \geq 1 \end{matrix}$ ，则 $Z = 2 x - 6 y + 1$ 的最大值是。

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14. 设 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的两个焦点， $P$ 在椭圆上，且满足 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的面积是。

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15. 关于 $x$ 的不等式 $(a^{2} - 1) x^{2} - (a - 1) x- 1 < 0$ 的解集为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是。

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16. 已知抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上有一条长为 $9$ 的动弦 $A B$ ，则 $A B$ 中点到 $y$ 轴的最短距离为。

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ ， $A (- 4, 0)$ ， $B (4, 0)$ ，点 $C$ 运动时内角满足 $2 sin A + sin C = 2 sin B$ ，求顶点 $C$ 的轨迹方程。

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18. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $c cos (π - B) = (b - 2 a) sin (\frac{π}{2} - C)$ 。

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = \sqrt{13}$ ， $b = 3$ ，求 $Δ A B C$ 的面积。

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19. 2017年，在国家创新驱动战略下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型的创新平台，1400多个北斗基站遍布全国，上万台套设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以达到厘米或毫米级。最近北斗三号工程耗资9万元建成一小型设备，已知这台设备从启用的第一天起连续使用，第 $n$ 天的维修保养费为 $\frac{n}{2} + 99.5 (n \in N^{*})$ 元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了多少天，平均每天耗资多少钱？

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20. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B B_{1} ⊥ 平面 A B C$ ， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $A C = 5$ ， $A A_{1} = 6 \sqrt{2}$ 。

(1)、设 $\vec{A D} = m \vec{A C}$ ，异面直线 $A B_{1}$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{5}$ ，求 $m$ 的值；

(2)、若 $D$ 是 $A D$ 的中点，求平面 $B D C_{1}$ 和平面 $C D C_{1}$ 所成二面角的余弦值。

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $2 S_{n} = a_{n}^{2} + n + 1$ 且 $a_{n} > 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $T_{n} = a_{1} \cdot 2^{a_{1}} + a_{2} \cdot 2^{a_{2}} + ... + a_{n} \cdot 2^{a_{3}}$ 的值。

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22. 点 $M (\sqrt{2}, 1)$ 在椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上，且点 $M$ 到椭圆两焦点的距离之和为 $2 \sqrt{5}$ 。

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知动直线 $y = k (x + 1)$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，若 $P (- \frac{7}{3}, 0)$ ，求证： $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 为定值

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