江苏省如皋市2017--2018学年高三上学期理数教学质量调研（三）试卷

试卷更新日期：2018-02-07 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 集合 $A = {1, 3}$ ， $B = {a^{2} + 2, 3}$ ，若 $A \cup B = {1, 2, 3}$ ，则实数 $a$ 的值为.

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2. 复数 $z = (2 + i) (1 - i)$ ，其中 $i$ 为虚数单位,则 $z$ 的虚部为.

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3. 从集合 $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ 中分别取两个不同的数 $a, b$ 作为对数的底数和真数，则事件“对数值大于 $2$ ”的概率为.

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4. 甲、乙两个城市2017年夏季连续5天中，每天的最高气温（ $^{°} C$ ）数据如下：
城市
每天的最高气温
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
甲
28
31
27
33
31
乙
25
26
29
34
36
则这5 天中，每天最高气温较为稳定(方差较小)的城市为. (填甲或乙).

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5. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $\overset{⇀}{A B} = (\frac{5}{2}, 0)$ ， $\overset{⇀}{A D} = (- \frac{3}{2}, 2)$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为.

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6. 抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $A (m, 2 \sqrt{3})$ 到焦点的距离为4，则实数 $p$ 的值为.

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7. 设变量 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} 2 x + y - 4 \geq 0 \\ x - y - 2 \leq 0 \\ y - 2 \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = 3 x + y$ 的最小值为.

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8. 将函数 $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $y = f (x)$ 的图象，则 $f (\frac{2 π}{3})$ 的值为.

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9. 一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点 $E$ ， $F$ ， $F_{1}$ ， $E_{1}$ 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为.

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10. “ $m = 3$ ”是“两直线 $l_{1} : m x + 3 y + 2 = 0$ 和 $l_{2} : x + (m - 2) y + m - 1 = 0$ 平行”的条件.(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个填空)

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11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $O_{1} : x^{2} + y^{2} = 9$ ，圆 $O_{2} : x^{2} + {(y - 6)}^{2} = 16$ ，在圆 $O_{2}$ 内存在一定点 $M$ ，过 $M$ 的直线 $l$ 被圆 $O_{1}$ ，圆 $O_{2}$ 截得的弦分别为 $A B$ ， $C D$ ，且 $\frac{A B}{C D} = \frac{3}{4}$ ，则定点 $M$ 的坐标为.

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12. 已知点 $P$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的正三角形 $A B C$ 内切圆上的一点，则 $\overset{⇀}{P A} \cdot \overset{⇀}{P B}$ 的取值范围为.

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13. 已知 $x, y, z$ 均为正数， $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 2$ ， $x + 2 y + 2 z = x y z$ ，则 $x y z$ 的最小值为.

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14. 已知函数 $f (x) = | x^{2} + m x + \frac{1}{2} | (x \in R)$ ，且 $y = f (x)$ 在 $x \in [0 ， 2]$ 上的最大值为 $\frac{1}{2}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - a x^{2}$ 有四个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围为.

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二、解答题

15. 在 $Δ A B C$ 中， $| \overset{⇀}{C A} + \overset{⇀}{C B} | = | \overset{⇀}{C A} - \overset{⇀}{C B} |$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $C D ⊥ A B$ ，垂足为 $D$ ，且 $C D = 4$ ，求 $Δ A B C$ 面积的最小值.

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16. 如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中，已知底面 $A B C D$ 为平行四边形， $A E ⊥ B C$ ，三角形 $B C E$ 为锐角三角形，面 $A E B ⊥$ 面 $B C E$ ，设 $F$ 为 $C E$ 的中点.
求证：

(1)、 $A E //$ 面 $B D F$ ；

(2)、 $A E ⊥$ 面 $B C E$ .

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17. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上的偶函数.当 $x < 0$ 时， $f (x) = ln (- x) + x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(e ， f (e))$ 处的切线方程；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq a | x | + 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 在某城市街道上一侧路边边缘 $l_{1}$ 某处安装路灯，路宽 $O D$ 为 $12 \sqrt{3}$ 米，灯杆 $A B$ 长4米，且与灯柱 $O A$ 成 $120^{°}$ 角，路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩轴线 $B C$ 与灯的边缘光线(如图 $B M$ ， $B N$ )都成 $30^{°}$ 角，当灯罩轴线 $B C$ 与灯杆 $A B$ 垂直时，灯罩轴线正好通过 $O D$ 的中点.

(1)、求灯柱 $O A$ 的高 $h$ 为多少米；

(2)、设 $∠ A B C = θ$ ，且 $\frac{5 π}{12} \leq θ \leq \frac{π}{2}$ ，求灯所照射路面宽度 $M N$ 的最小值.

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $y = x$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 交于点 $A$ ， $B$ （ $A$ 在 $x$ 轴上方），且 $A B = \frac{2 \sqrt{6}}{3} a$ .设点 $A$ 在 $x$ 轴上的射影为 $N$ ，三角形 $A B N$ 的面积为2（如图1）.

(1)、求椭圆的方程；

(2)、设平行于 $A B$ 的直线与椭圆相交，其弦的中点为 $Q$ .
①求证：直线 $O Q$ 的斜率为定值；
②设直线 $O Q$ 与椭圆相交于两点 $C$ ， $D$ （ $D$ 在 $x$ 轴上方），点 $P$ 为椭圆上异于 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 一点，直线 $P A$ 交 $C D$ 于点 $E$ ， $P C$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，如图2，求证： $A F \cdot C E$ 为定值.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}} - a x + 1$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $y = f (x)$ 在 $x \in [- 1 ， 1]$ 上的值域；

(2)、试求 $f (x)$ 的零点个数，并证明你的结论.

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21. 已知曲线 $y^{2} = 2 x$ ，先将曲线 $C$ 作关于 $x$ 轴的反射变换，再将所得图形绕原点顺时针旋转 $90^{\circ}$ 。

(1)、求连续两次变换所对应的变换矩阵 $M$ ；

(2)、求曲线 $C$ 在 $T_{M}$ 作用下得到的曲线 $C^{'}$ 的方程.

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22. 在平面直角坐标系 $x o y$ 中，已知椭圆 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} \\ y = \frac{4 t}{1 + t^{2}} \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以原点为极坐标系的极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程 $θ = \frac{π}{4} (ρ \in R)$ .设直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A ， B$ ，求线段 $A B$ 的长.

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23. 袋中有大小相同的3个红球和2个白球,现从袋中每次取出一个球,若取出的是红球，则放回袋中,继续取一个球,若取出的是白球,则不放回,再从袋中取一球,直到取出两个白球或者取球5次,则停止取球,设取球次数为 $X$ ,

(1)、求取球3次则停止取球的概率;

(2)、求随机变量 $X$ 的分布列.

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24. 如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 为正三角形，面 $A_{1} A B B_{1}$ ⊥面 $A B C$ ， $A A_{1} = A B$ ， $∠ A_{1} A B = 60^{0}$ .

(1)、求异面直线 $A_{1} C$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值；

(2)、设 $D$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，求面 $A_{1} B C$ 与面 $A_{1} D C$ 所成角的正弦值.

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城市	每天的最高气温
城市	第1天	第2天	第3天	第4天	第5天
甲	28	31	27	33	31
乙	25	26	29	34	36