青海省西宁市2017-2018学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2018-02-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 集合 $A = {1, 2}$ 的非空子集个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数的为（）

A、 $y = cos x$ B、 $y = 2^{x}$ C、 $y = lg x$ D、 $y = | x |$

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3. 若 $sin (π - θ) < 0$ ， $tan (π - θ) < 0$ ，则角 $θ$ 的终边在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 弧长为3，圆心角为 $1 r a d$ 的扇形面积为（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、2 D、 $π$

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5. 函数 $f (x) = \sqrt{{log}_{3} x}$ 的定义域为（）

A、 ${x | x > 0}$ B、 ${x | x > 1}$ C、 ${x | x \geq 1}$ D、 ${x | 0 < x \leq 1}$

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6. 如图， $D$ 是 $Δ A B C$ 边 $A B$ 的中点，则向量 $\overset{⇀}{C D}$ 用 $\overset{⇀}{B A} ， \overset{⇀}{B C}$ 表示为（）

A、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{B A} - \overset{⇀}{B C}$ B、 $- \frac{1}{2} \overset{⇀}{B A} - \overset{⇀}{B C}$ C、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{B A} + \overset{⇀}{B C}$ D、 $\overset{⇀}{B C} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{B A}$

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7. 函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - x^{3}$ 的零点个数为（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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8. 已知 $a = cos \frac{π}{8}$ ， $b = sin \frac{π}{8}$ ， $c = {0.3}^{- 2}$ ，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $b > c > a$ C、 $a > c > b$ D、 $c > b > a$

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9. 已知 $a > 0 ，$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $y = {log}_{a} x ， y = a^{x} ， y = x + a$ 在同一坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知幂函数 $f (x) = x^{a}$ 的图象经过函数 $g (x) = a^{x - 2} - \frac{1}{2}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象所过的定点，则幂函数 $f (x)$ 不具有的特性是（）

A、在定义域内有单调递减区间 B、图象过定点 $(1 ， 1)$ C、是奇函数 D、其定义域是 $R$

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11. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ $(A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、函数 $f (x)$ 的值域为 $[- 1 ， 1]$ C、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{6}$ 对称 D、函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到函数 $y = A cos ω x$ 的图象

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12. 设函数 $f (x)$ 在定义域 $R$ 上满足 $f (- x) + f (x) = 0$ ，若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是减函数，且 $f (- 2) = 0$ ，则满足 $(x - 1) f (x) > 0$ 的 $x$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 1) \cup (1, 2)$ B、 $(- 2, 0) \cup (1, 2)$ C、 $(- 2, 1) \cup (2, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2) \cup (1, + \infty)$

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13. 已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 分别由下表给出
$x$
1
2
3
$f (x)$
2
1
1

$x$
1
2
3
$g (x)$
3
2
1
则 $g [f (x)] = 2$ 时， $x =$ ．

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二、填空题

14. 计算： $8^{- \frac{2}{3}} + lg 100 - {(- \frac{7}{8})}^{0} =$ ．

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15. 已知 $tan (φ + \frac{π}{4}) = 5$ ，则 $\frac{1}{sin φ cos φ} =$ ．

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16. 已知函数 $f (x)$ 的定义域是 $(0, + \infty)$ ，且满足 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ， $f (2) = 1$ .如果对于 $0 < x < y$ ，都有 $f (x) < f (y)$ ，则不等式 $f (x - 1) + f (x + 1) < 2$ 的解集为（表示成集合）．

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三、解答题

17. 已知角 $α$ 的终边与单位圆交于点 $P (\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ .
（Ⅰ）求 $sin α, cos α, tan α$ 的值；
（Ⅱ）求 ${(sin \frac{α}{2} - cos \frac{α}{2})}^{2}$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + 2 x + m$ .
（Ⅰ）若函数 $f (x)$ 恰有一个零点，求实数 $m$ 的值；
（Ⅱ）令 $g (x) = f (x - 1)$ ，若 $g (x)$ 在区间 $[2 a, a + 2]$ 上不单调，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 我国科研人员屠呦呦法相从青篙中提取物青篙素抗疟性超强，几乎达到100%，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间r（小时）之间近似满足如图所示的曲线

(1)、写出第一服药后y与t之间的函数关系式y=f（x）；

(2)、据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于 $\frac{1}{9}$ 微克时，治疗有效，求服药一次后治疗有效的时间是多长？

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20. 已知 $cos (\frac{π}{4} - α) = \frac{3}{5}$ ， $sin (\frac{5 π}{4} + β) = - \frac{12}{13}$ ， $α \in (\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$ ， $β \in (0, \frac{π}{4})$ ，求 $sin (α + β)$ 的值.

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21. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 1 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x | x = m + 1 ， m \in A}$ .
（Ⅰ）求图中阴影部分表示的集合 $C$ ；
（Ⅱ）若非空集合 $D = {x | 4 - a < x < a}$ ，且 $D \subseteq (A \cup B)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知 $O$ 为坐标原点， $\overset{⇀}{O A} = (2 cos x, \sqrt{3})$ ， $\overset{⇀}{O B} = (sin x + \sqrt{3} cos x, - 1)$ ，若 $f (x) = \overset{⇀}{O A} \cdot \overset{⇀}{O B} + 2$ .
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；
（Ⅱ）当 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 时，若方程 $f (x) + m = 0$ 有根，求 $m$ 的取值范围.

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$x$	1	2	3
$f (x)$	2	1	1

$x$	1	2	3
$g (x)$	3	2	1