江苏省南京市、盐城市2017-2018学年高三理数第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2018-02-07 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、填空题

1. 已知集合 $A = {x | x (x - 4) < 0}$ ， $B = {0, 1, 5}$ ，则 $A \cap B =$ ．

查看试题解析
2. 设复数 $z = a + i (a \in R, i$ 为虚数单位），若 $(1 + i) \cdot z$ 为纯虚数，则 $a$ 的值为．

查看试题解析
3. 为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在 $[70 ， 80)$ (单位：分钟)内的学生人数为．

查看试题解析
4. 执行如图所示的伪代码，若 $x = 0$ ，则输出的 $y$ 的值为．

查看试题解析
5. 口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为．

查看试题解析
6. 若抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 的焦点与双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的右焦点重合，则实数 $p$ 的值为．

查看试题解析
7. 设函数 $y = e^{x} + \frac{1}{e^{x}} - a$ 的值域为 $A$ ，若 $A \subseteq [0, + \infty)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

查看试题解析
8. 已知锐角 $α ， β$ 满足 $(tan α - 1) (tan β - 1) = 2$ ，则 $α + β$ 的值为．

查看试题解析
9. 若函数 $y = sin ω x$ 在区间 $[0 ， 2 π]$ 上单调递增，则实数 $ω$ 的取值范围是．

查看试题解析
10. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 ${a_{n}}$ 的前2017项中的奇数项和为2018，
则 $S_{2017}$ 的值为．

查看试题解析
11. 设函数 $f (x)$ 是偶函数，当x≥0时， $f (x)$ = ${\begin{matrix} x (3 - x) ， & 0 \leq x \leq 3 ， \\ - \frac{3}{x} + 1 ， & x >3 \end{matrix}$ ，若函数 $y = f (x) - m$ 有四个不同的零点，则实数m的取值范围是．

查看试题解析
12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若直线 $y = k (x - 3 \sqrt{3})$ 上存在一点 $P$ ，圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 上存在一点 $Q$ ，满足 $\overset{⇀}{O P} = 3 \overset{⇀}{O Q}$ ，则实数 $k$ 的最小值为．

查看试题解析
13. 如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若 $A ， B ， C ， D$ 四点均位于图中的“晶格点”处，且 $A ， B$ 的位置所图所示，则 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{C D}$ 的最大值为．

查看试题解析
14. 若不等式 $k {sin}^{2} B + sin A sin C > 19 sin B sin C$ 对任意 $Δ A B C$ 都成立，则实数 $k$ 的最小值为．

查看试题解析

二、解答题

15. 如图所示，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C A = C B$ ，点 $M ， N$ 分别是 $A B ， A_{1} B_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $B N$ ∥平面 $A_{1} M C$ ；

(2)、若 $A_{1} M ⊥ A B_{1}$ ，求证： $A B_{1} ⊥ A_{1} C$ .

查看试题解析
16. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c,$ 已知 $c = \frac{\sqrt{5}}{2} b$ .

(1)、若 $C = 2 B$ ，求 $cos B$ 的值；

(2)、若 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A C} = \overset{⇀}{C A} \cdot \overset{⇀}{C B}$ ，求 $cos (B + \frac{π}{4})$ 的值．

查看试题解析
17. 有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边 $A B$ 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形 $A B C D$ （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中 $O E M F$ 是以 $O$ 为圆心、 $∠ E O F = 120 °$ 的扇形，且弧 $\vec{E F}$ ， $\vec{G H}$ 分别与边 $B C$ ， $A D$ 相切于点 $M$ ， $N$ ．

(1)、当 $B E$ 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；

(2)、当 $B E$ 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？

查看试题解析
18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的下顶点为 $B$ ，点 $M ， N$ 是椭圆上异于点 $B$ 的动点，直线 $B M ， B N$ 分别与 $x$ 轴交于点 $P ， Q$ ，且点 $Q$ 是线段 $O P$ 的中点．当点 $N$ 运动到点 $(\sqrt{3} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 处时，点 $Q$ 的坐标为 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， 0)$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设直线 $M N$ 交 $y$ 轴于点 $D$ ，当点 $M ， N$ 均在 $y$ 轴右侧，且 $\overset{⇀}{D N} = 2 \overset{⇀}{N M}$ 时，求直线 $B M$ 的方程．

查看试题解析
19. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n}^{2} = a_{n + 1} a_{n - 1} + λ {(a_{2} - a_{1})}^{2}$ ，其中 $n ⩾ 2$ ，且 $n \in N$ ， $λ$ 为常数.

(1)、若 ${a_{n}}$ 是等差数列，且公差 $d \neq 0$ ，求 $λ$ 的值；

(2)、若 $a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{3} = 4$ ，且存在 $r \in [3, 7]$ ，使得 $m \cdot a_{n} \geq n - r$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 都成立，求 $m$ 的最小值；

(3)、若 $λ \neq 0$ ，且数列 ${a_{n}}$ 不是常数列，如果存在正整数 $T$ ，使得 $a_{n + T} = a_{n}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 均成立. 求所有满足条件的数列 ${a_{n}}$ 中 $T$ 的最小值.

查看试题解析
20. 设函数 $f (x) = ln x$ ， $g (x) = a x + \frac{b}{x} - c$ （ $a ， b ， c \in R$ ）.

(1)、当 $c = 0$ 时，若函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象在 $x = 1$ 处有相同的切线，求 $a ， b$ 的值；

(2)、当 $b = 3 - a$ 时，若对任意 $x_{0} \in (1 ， + \infty)$ 和任意 $a \in (0 ， 3)$ ，总存在不相等的正实数 $x_{1} ， x_{2}$ ，使得 $g (x_{1}) = g (x_{2}) = f (x_{0})$ ，求 $c$ 的最小值；

(3)、当 $a = 1$ 时，设函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的图象交于 $A (x_{1} ， y_{1}) ，$ $B (x_{2} ， y_{2}) (x_{1} < x_{2})$ 两点．求证： $x_{1} x_{2} - x_{2} < b < x_{1} x_{2} - x_{1}$ .

查看试题解析
21. （选修4-1：几何证明选讲）
如图，已知 $A B$ 为⊙ $O$ 的直径，直线 $D E$ 与⊙ $O$ 相切于点 $E$ ， $A D$ 垂直 $D E$ 于点 $D$ . 若 $D E = 4$ ，求切点 $E$ 到直径 $A B$ 的距离 $E F$ ．

查看试题解析
22. （选修4-2：矩阵与变换）
已知矩阵 $M = [\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$ ，求圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 在矩阵 $M$ 的变换下所得的曲线方程.

查看试题解析
23. （选修4-4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，直线 $ρ cos (θ + \frac{π}{3}) = 1$ 与曲线 $ρ = r$ ( $r > 0$ )相切，求 $r$ 的值.

查看试题解析
24. (选修4-5：不等式选讲）
已知实数 $x, y$ 满足 $x^{2} + 3 y^{2} = 1$ ，求当 $x + y$ 取最大值时 $x$ 的值.

查看试题解析
25. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是菱形， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $O P ⊥$ 底面 $A B C D$ ，点 $M$ 为 $P C$ 中点， $A C = 4 ， B D = 2 ， O P = 4$ .

(1)、求直线 $A P$ 与 $B M$ 所成角的余弦值；

(2)、求平面 $A B M$ 与平面 $P A C$ 所成锐二面角的余弦值．

查看试题解析
26. 已知 $n \in N^{*}$ ， $n f (n) = C_{n}^{0} C_{n}^{1} + 2 C_{n}^{1} C_{n}^{2} + \cdot \cdot \cdot + r C_{n}^{r - 1} C_{n}^{r} + \cdot \cdot \cdot + n C_{n}^{n - 1} C_{n}^{n}$ ．

(1)、求 $f (1),$ $f (2),$ $f (3)$ 的值；

(2)、试猜想 $f (n)$ 的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．

查看试题解析