辽宁省凌源市2017-2018学年高三上学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-02-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {(x, y) | y = x - 1}$ ， $B = {(x, y) | y = 3 x + 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${(1, 0)}$ B、 ${(2, 1)}$ C、 ${(- 1, - 2)}$ D、 ${(- 2, - 3)}$

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2. 已知实数 $m, n$ 满足 $(m + n i) (4 - 2 i) = 3 i + 5$ ，则 $m + n =$ （）

A、 $\frac{9}{5}$ B、 $\frac{11}{5}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{11}{4}$

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3. 下列函数中，既是奇函数，又在 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数的是（）

A、 $y = \frac{1}{x} + x$ B、 $y = x - cos x$ C、 $y = x - sin x$ D、 $y = \frac{1}{x} - x$

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4. “直线 $a x - 2 y - 3 = 0$ 的倾斜角大于 $\frac{π}{4}$ ”是“ $a > 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 将函数 $y = cos 2 x$ 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到函数 $g (x)$ 的图象，再将函数 $g (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位，得到函数 $f (x)$ 的图象，则 $f (x) =$ （）

A、 $cos (x - \frac{π}{8})$ B、 $sin (x - \frac{π}{8})$ C、 $sin 2 x$ D、 $sin 4 x$

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6. 长方体的一个顶点上的三条棱长分别为 $3, 2, x$ ，其顶点都在表面积为 $18 π$ 的球的球面上，则 $x =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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7. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $Δ A B C$ 的面积 $S = 2 \sqrt{5} cos C$ ，且 $a = 1, b = 2 \sqrt{5}$ ，则 $c =$ （）

A、 $\sqrt{15}$ B、 $\sqrt{17}$ C、 $\sqrt{19}$ D、 $\sqrt{21}$

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8. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} y \geq 7 - 3 x \\ x + 3 y \leq 13 \\ x \leq y + 1 \end{matrix}$ ，则 $z = {(\frac{1}{2})}^{| 2 x - 3 y + 4 |}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{28}$ B、 $\frac{1}{32}$ C、 $\frac{1}{48}$ D、 $\frac{1}{64}$

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9. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线 $l$ 的距离为2，过点 $F$ 且倾斜角为 $60 °$ 的直线与拋物线 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，若 $M M^{'} ⊥ l ， N N^{'} ⊥ l$ ，垂足分别为 $M^{'} ， N^{'}$ ，则 $Δ M^{'} N^{'} F$ 的面积为（）

A、 $\frac{32 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{14 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$

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10. 记 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[3] = 3 ， [4.6] = 4$ .执行如图所示的程序框图，输出 $i$ 的值是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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11. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）

A、 $88 + (2 \sqrt{5} - 2) π$ B、 $96 + (2 \sqrt{5} - 4) π$ C、 $88 + (4 \sqrt{5} - 4) π$ D、 $88 + (2 \sqrt{5} - 4) π$

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12. 若存在 $x \in [e ， e^{2}]$ 使得不等式 $\frac{x}{ln x} \leq \frac{1}{4} + a x$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{2} - \frac{1}{2 e^{2}} ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{2} - \frac{1}{4 e^{2}} ， + \infty)$ C、 $[\frac{1}{2} + \frac{1}{2 e^{2}} ， + \infty)$ D、 $[\frac{1}{2} + \frac{1}{4 e^{2}} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 现在有2名喜爱综艺类节目的男生和3名不喜爱综艺类节目的男生，在5人中随机抽取2人进行深入调研，则这2人中恰有1人喜爱综艺类节目的概率为．

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14. 若 $\overset{⇀}{a} = (cos x ， sin x) ， \overset{⇀}{b} = (\sqrt{3} ， - 1)$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则 $tan 2 x =$ ．

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15. 如图所示为计算机科学中的蛇形模型，则第20行从左到右第4个数字为．

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16. 已知直线 $l ： x + y - 1 = 0$ 截圆 $Ω ： x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 所得的弦长为 $\sqrt{14}$ ，点 $M ， N$ 在圆 $Ω$ 上，且直线 $l^{'} ： (1 + 2 m) x + (m - 1) y - 3 m = 0$ 过定点 $P$ ，若 $P M ⊥ P N$ ，则 $| M N |$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知首项为1的正项数列 ${a_{n}}$ ， $(a_{n} + a_{n + 1}) (a_{n + 1} - a_{n}) + 2 a_{n}^{2} a_{n + 1}^{2} = 0 ， n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = a_{n} a_{n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}^{2}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 随着科技的发展，手机成为人们日常生活中必不可少的通信工具，现在的中学生几乎都拥有了属于自己的手机.为了调查某地区高中生一周内使用手机的频率，某机构随机抽查了该地区100名高中生某一周内使用手机的时间（单位：小时），所取样本数据分组区间为 $[0 ， 2) ， [2 ， 4) ， [4 ， 6) ， [6 ， 8) ， [8 ， 10) ， [10 ， 12) ， [12 ， 14]$ ，由此得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值并估计该地区高中生一周使用手机时间的平均值；

(2)、从使用手机时间在 $[6 ， 8) ， [8 ， 10) ， [10 ， 12) ， [12 ， 14]$ 的四组学生中，用分层抽样方法抽取13人，则每组各应抽取多少人？

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19. 已知正四棱锥 $S - A B C D$ 的各条棱长都相等，且点 $E ， F$ 分别是 $S B ， S D$ 的中点.

(1)、求证： $A C ⊥ S B$ ；

(2)、在 $S C$ 上是否存在点 $M$ ，使平面 $M B D / /$ 平面 $A E F$ ，若存在，求出 $\frac{S M}{M C}$ 的值；若不存在，说明理由.

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点 $(- 3, \frac{\sqrt{3}}{2})$ .过椭圆 $C$ 右焦点且不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2})$ 两点，且 $y_{1} + y_{2} \neq 0$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若点 $Q_{1}$ 与点 $Q$ 关于 $x$ 轴对称，且直线 $Q_{1} P$ 与 $x$ 轴交于点 $R$ ，求 $Δ R P Q$ 面积的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = x e^{x} + m x^{2} - n x$ .

(1)、当 $m = - \frac{1}{2} ， n = 2$ 时，求函数 $g (x) = f (x) + e^{x}$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f^{'} (x) \leq (x + 2) e^{x}$ 在 $R$ 上恒成立，求证： $m - \frac{n}{2} \leq \frac{e}{2}$ .

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $p (cos θ + sin θ) = 4$ ，现以极点 $O$ 为原点，极轴为 $x$ 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + c o s θ \\ y = 1 + 3 s i n θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数）.

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的直角坐标方程和曲线 $C_{2}$ 的普通方程；

(2)、若曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 交于 $A 、 B$ 两点， $P$ 为曲线 $C_{2}$ 上的动点，求 $Δ P A B$ 面积的最大值.

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23. 选修4-5:不等式选讲
已知 $f (x) = | x - 1 | + | x + 3 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 4$ 的解集 $M$ ；

(2)、若 $a, b \in M$ ，证明： $(a^{2} + 2 a - 3) (b^{2} + 2 b - 3) \geq 0$ .

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