辽宁省凌源市2018届高三上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-02-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 3 x^{2} - 4 x + 1 \leq 0}$ ， $B = {x | y = \sqrt{4 x - 3}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(\frac{3}{4} ， 1]$ B、 $[\frac{3}{4} ， 1]$ C、 $[\frac{1}{3} ， \frac{3}{4}]$ D、 $[\frac{1}{3} ， \frac{3}{4})$

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2. 已知实数 $m, n$ 满足 $(m + n i) (4 - 2 i) = 3 i + 5$ ，则 $m + n =$ （）

A、 $\frac{9}{5}$ B、 $\frac{11}{5}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{11}{4}$

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3. 某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品的数量分别为：460,350,190.现在用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，下列说法正确的是（）

A、甲抽取样品数为48 B、乙抽取样品数为35 C、丙抽取样品数为21 D、三者中甲抽取的样品数最多，乙抽取的样品数最少

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4. “直线 $a x - 2 y - 3 = 0$ 的倾斜角大于 $\frac{π}{4}$ ”是“ $a > 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆 $O$ 被 $y = 3 sin \frac{π}{6} x$ 的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）

A、 $\frac{1}{36}$ B、 $\frac{1}{18}$ C、 $\frac{1}{12}$ D、 $\frac{1}{9}$

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6. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 满足 ${log}_{\frac{1}{2}} (a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}) = 0$ ，且 $a_{6} = \frac{1}{8}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前9项和为（）

A、 $7 \frac{31}{32}$ B、 $8 \frac{31}{32}$ C、 $7 \frac{63}{64}$ D、 $8 \frac{63}{64}$

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7. 记 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[3] = 3 ， [4.6] = 4$ .执行如图所示的程序框图，输出 $i$ 的值是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线 $l$ 的距离为2，过点 $F$ 且倾斜角为 $60 °$ 的直线与拋物线 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，若 $M M^{'} ⊥ l ， N N^{'} ⊥ l$ ，垂足分别为 $M^{'} ， N^{'}$ ，则 $Δ M^{'} N^{'} F$ 的面积为（）

A、 $\frac{32 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{14 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$

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9. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）

A、 $88 + (2 \sqrt{5} - 2) π$ B、 $96 + (2 \sqrt{5} - 4) π$ C、 $88 + (4 \sqrt{5} - 4) π$ D、 $88 + (2 \sqrt{5} - 4) π$

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10. 已知直线 $l ： x + y - 1 = 0$ 截圆 $Ω ： x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 所得的弦长为 $\sqrt{14}$ ，点 $M ， N$ 在圆 $Ω$ 上，且直线 $l^{'} ： (1 + 2 m) x + (m - 1) y - 3 m = 0$ 过定点 $P$ ，若 $P M ⊥ P N$ ，则 $| M N |$ 的取值范围为（）

A、 $[2 - \sqrt{2} ， 2 + \sqrt{3}]$ B、 $[2 - \sqrt{2} ， 2 + \sqrt{2}]$ C、 $[\sqrt{6} - \sqrt{2} ， \sqrt{6} + \sqrt{3}]$ D、 $[\sqrt{6} - \sqrt{2} ， \sqrt{6} + \sqrt{2}]$

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11. 已知函数 $f (x) = (1 - 2 {cos}^{2} x) sin (\frac{3 π}{2} + θ) - 2 sin x cos x cos (\frac{π}{2} - θ)$ $(| θ | \leq \frac{π}{2})$ 在 $[- \frac{3 π}{8}, - \frac{π}{6}]$ 上单调递增，且 $f (\frac{π}{8}) \leq m$ ，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{\sqrt{3}}{2}, + \infty)$ B、 $[\frac{1}{2}, + \infty)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, + \infty)$

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12. 已知关于 $x$ 的不等式 $| \frac{ln x + x - 4}{e^{x}} | > a x$ 的解集中只有两个整数，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{ln 2}{2 e^{4}}, \frac{2 - ln 2}{2 e^{2}})$ B、 $[\frac{ln 3 - 1}{3 e^{3}}, \frac{2 - ln 2}{2 e^{2}})$ C、 $[\frac{ln 3 + 1}{3 e^{3}}, \frac{2 - ln 2}{2 e^{2}})$ D、 $(\frac{ln 3 + 1}{3 e^{3}}, \frac{2 - ln 2}{2 e^{2}})$

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二、填空题

13. ${(3 x^{2} - \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}})}^{8}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 的项的系数为．

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14. 已知函数 $f (x) = - {cos}^{2} x + \sqrt{3} sin x sin (x + \frac{π}{2})$ ，当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值与最大值之和为．

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15. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} y \geq 7 - 3 x ， \\ x + 3 y \leq 13 ， \\ x \leq y + 1 \end{matrix}$ 则 $z = {(\frac{1}{2})}^{| 2 x - 3 y + 4 |}$ 的最小值为．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{a_{n + 1} - 3 a_{n}}{n} = 8 + \frac{6}{n}$ ，若 $a_{n + 1} > a_{n}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的首项的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知在 $Δ A B C$ 中， $Δ A B C$ 的面积为 $S$ ，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\overset{⇀}{B A} \cdot \overset{⇀}{A C} + \frac{2 S}{3} = 0$ ， $C = \frac{π}{4}$ ．

(1)、求 $cos B$ 的值；

(2)、若 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A C}$ $= 16$ ，求 $b$ 的值．

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18. 共享单车因绿色、环保、健康的出行方式，在国内得到迅速推广.最近，某机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士，结果男士、女士中分别有7人、6人表示“经常骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”.

(1)、从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率；

(2)、从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望.

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19. 已知正四棱锥 $S - A B C D$ 的各条棱长都相等，且点 $E ， F$ 分别是 $S B ， S D$ 的中点.

(1)、求证： $A C ⊥ S B$ ；

(2)、若 $M \in$ 平面 $A E F$ ，且 $M \in S C$ ，求 $\frac{S M}{S C}$ 的值.

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点 $(- 3, \frac{\sqrt{3}}{2})$ .过椭圆 $C$ 右焦点且不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2})$ 两点，且 $y_{1} + y_{2} \neq 0$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若点 $Q_{1}$ 与点 $Q$ 关于 $x$ 轴对称，且直线 $Q_{1} P$ 与 $x$ 轴交于点 $R$ ，求 $Δ R P Q$ 面积的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、设 $g (x) = f (x) + 2 e^{x} - a x^{2} ， h (x) = x$ ，若 $[g (x_{1}) - h (x_{1})] \cdot [g (x_{2}) - h (x_{2})] > 0$ ，对任意 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $p (cos θ + sin θ) = 4$ ，现以极点 $O$ 为原点，极轴为 $x$ 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + c o s θ \\ y = 1 + 3 s i n θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数）.

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的直角坐标方程和曲线 $C_{2}$ 的普通方程；

(2)、若曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 交于 $A 、 B$ 两点， $P$ 为曲线 $C_{2}$ 上的动点，求 $Δ P A B$ 面积的最大值.

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23. 选修4-5:不等式选讲
已知 $f (x) = | x - 1 | + | x + 3 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 4$ 的解集 $M$ ；

(2)、若 $a, b \in M$ ，证明： $(a^{2} + 2 a - 3) (b^{2} + 2 b - 3) \geq 0$ .

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