辽宁省凌源市2017-2018学年高二上学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-02-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0, 1, 3}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 x = 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${0, 1}$ C、 ${0, 3}$ D、 ${0, 1, 3}$

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2. “ $x > 2$ ”是“ $x^{2} + 2 x - 8 > 0$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. $sin 18 ° sin 78 ° - cos 162 ° cos 78 °$ 等于（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 一次数学考试后，某老师从甲，乙两个班级中各抽取5人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图，已知甲班5名同学成绩的平均数为81，乙班5名同学成绩的中位数为73，则 $x - y$ 的值为（）

A、2 B、-2 C、3 D、-3

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5. 已知直线 $3 x + 4 y - 3 = 0$ 与直线 $6 x + m y +14 = 0$ 平行，则它们之间的距离是（）

A、 $\frac{17}{10}$ B、 $\frac{17}{5}$ C、8 D、2

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6. 如图，一个空间几何体正视图与左视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（）

A、 $π$ B、 $3 π$ C、 $2 π$ D、 $π + \sqrt{3}$

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7. 执行如图所示的程序框图，如果输出的 $k$ 值为3，则输入 $a$ 的值可以是（）

A、20 B、21 C、22 D、23

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8. 为得到函数 $y = sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象，只需要将函数 $y = cos 2 (\frac{π}{4} - x)$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度

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9. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} y - 2 \geq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ x + y - 5 \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的最大值是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、1 C、2 D、3

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10. 函数 $f (x) = cos (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < 2 π)$ 的部分图象如下图所示，则 $φ$ 的值是（）

A、 $\frac{7 π}{4}$ B、 $\frac{5 π}{4}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{π}{4}$

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11. 如图，一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的位置的概率为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $1 - \frac{π}{3}$ C、 $1 - \frac{π}{6}$ D、 $1 - \frac{π}{12}$

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12. 函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 1 ， 1]$ ，图象如图1所示；函数 $g (x)$ 的定义域为 $[- 2 ， 2]$ ，图象如图2所示，方程 $f (g (x)) = 0$ 有 $m$ 个实数根，方程 $g (f (x)) = 0$ 有 $n$ 个实数根，则 $m + n =$ （）

A、6 B、8 C、10 D、12

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二、填空题

13. 已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是．

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14. 已知两点 $A (- m ， 0)$ ， $B (m ， 0)$ （ $m > 0$ ），如果在直线 $3 x + 4 y + 25 = 0$ 上存在点 $P$ ，使得 $∠ A P B = 90^{°}$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{- x} - 1, x \leq 0 \\ - x^{2} + x, x > 0 \end{matrix}$ ，则关于 $x$ 的不等式 $f (f (x)) \leq 3$ 的解集为．

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16. 观察下面的数阵，则第40行最左边的数是．

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三、解答题

17. 已知 $p :$ 函数 $y = x^{2} - 2 x + a$ 在区间 $(1, 2)$ 上有1个零点； $q :$ 函数 $y = x^{2} + (2 a - 3) x + 1$ 图象与 $x$ 轴交于不同的两点.若“ $p \land q$ ”是假命题，“ $p \lor q$ ”是真命题，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = \frac{n + 1}{2 n} \cdot a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求证：数列 ${\frac{a_{n}}{n}}$ 为等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

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19. 已知顶点在单位圆上的 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 a cos A = c cos B + b cos C$ .

(1)、求 $cos A$ 的值；

(2)、若 $b^{2} + c^{2} = 4$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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20. 某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了 $n$ 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示.

(1)、分别求出 $a ， b ， x ， y$ 的值；

(2)、从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？

(3)、在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $E$ 是 $P D$ 的中点， $F$ 是 $A B$ 的中点， $H$ 是 $P A$ 中点.

(1)、证明： $F H / /$ 平面 $A E C$ ；

(2)、若平面 $P A D ⊥$ 底面 $ABCD$ ， $P A = A D$ ，试在 $P C$ 上找一点 $G$ ，使 $F G ⊥$ 平面 $P C D$ ，并证明此结论.

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22. 已知圆 $M$ 的方程为 $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ ，直线 $l$ 的方程为 $x - 2 y = 0$ ，点 $P$ 在直线 $l$ 上，过点 $P$ 作圆 $M$ 的切线 $P A ， P B$ ，切点为 $A ， B$ .

(1)、若点 $P$ 的坐标为 $(1 ， \frac{1}{2})$ ，求切线 $P A ， P B$ 的方程；

(2)、求四边形 $P A M B$ 面积的最小值；

(3)、求证：经过 $A ， P ， M$ 三点的圆必过定点，并求出所有定点坐标.

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