辽宁省凌源市2017-2018学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-02-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0, 1, 3}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 x = 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${0, 1}$ C、 ${0, 3}$ D、 ${0, 1, 3}$

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2. “ $x > 2$ ”是“ $x^{2} + 2 x - 8 > 0$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $y = \sqrt{4 - x} - \sqrt{x - 3}$ 的最大值是（）

A、-1 B、1 C、6 D、7

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4. 已知双曲线的中心为原点， $F (3, 0)$ 是双曲线的一个焦点， $\sqrt{5} x - 2 y = 0$ 是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{45} - \frac{y^{2}}{36} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{45} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$

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5. 若直线 $l$ 的方向向量为 $\overset{⇀}{a}$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\overset{⇀}{n}$ ，则可能使 $l / / α$ 的是（）

A、 $\overset{⇀}{a} = (1, 0, 0), \overset{⇀}{n} = (- 2, 0, 0)$ B、 $\overset{⇀}{a} = (1, 3, 5), \overset{⇀}{n} = (1, 0, 1)$ C、 $\overset{⇀}{a} = (0, 2, 1), \overset{⇀}{n} = (- 1, 0, - 1)$ D、 $\overset{⇀}{a} = (1, - 1, 3), \overset{⇀}{n} = (0, 3, 1)$

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6. 已知 $A (\sqrt{2}, 1)$ 为抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上一点，则 $A$ 到其焦点 $F$ 的距离为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{2} + \frac{1}{2}$ C、2 D、 $\sqrt{2} + 1$

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7. 执行如图所示的程序框图，如果输出的 $k$ 值为3，则输入 $a$ 的值可以是（）

A、20 B、21 C、22 D、23

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8. 为得到函数 $y = sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象，只需要将函数 $y = cos 2 (\frac{π}{4} - x)$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度

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9. 若 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $cos (\frac{π}{4} - α) = 2 \sqrt{2} cos 2 α$ ，则 $sin 2 α$ 等于（）

A、 $\frac{15}{16}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{31}}{16}$ D、 $\frac{15}{32}$

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10. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} y - 2 \geq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ x + y - 5 \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的最大值是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、1 C、2 D、3

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11. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）

A、 $\frac{17 π}{2}$ B、 $9 π$ C、 $\frac{19 π}{2}$ D、 $10 π$

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12. 函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 1 ， 1]$ ，图象如图1所示；函数 $g (x)$ 的定义域为 $[- 2 ， 2]$ ，图象如图2所示，方程 $f (g (x)) = 0$ 有 $m$ 个实数根，方程 $g (f (x)) = 0$ 有 $n$ 个实数根，则 $m + n =$ （）

A、6 B、8 C、10 D、12

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二、填空题

13. 已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是．

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14. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (2, - 1, 3)$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 4, y, 2)$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ (\overset{⇀}{a} + b)$ ，则 $y$ 的值为．

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15. 已知 $P$ 是直线 $3 x + 4 y + 8 = 0$ 上的动点， $P A ， P B$ 是圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 1 = 0$ 的两条切线， $A ， B$ 是切点， $C$ 是圆心，那么四边形 $P A C B$ 面积的最小值为．

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16. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的任意一点 $P$ (短轴端点除外)与短轴上、下两个端点 $B_{1}, B_{2}$ 的连线交 $x$ 轴于点 $M$ 和 $N$ ，则 $| O M | + | O N |$ 的最小值是．

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三、解答题

17. 已知 $p :$ 函数 $y = x^{2} - 2 x + a$ 在区间 $(1, 2)$ 上有1个零点； $q :$ 函数 $y = x^{2} + (2 a - 3) x + 1$ 图象与 $x$ 轴交于不同的两点.若“ $p \land q$ ”是假命题，“ $p \lor q$ ”是真命题，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = \frac{n + 1}{2 n} \cdot a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求证：数列 ${\frac{a_{n}}{n}}$ 为等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

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19. 已知顶点在单位圆上的 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 a cos A = c cos B + b cos C$ .

(1)、求 $cos A$ 的值；

(2)、若 $b^{2} + c^{2} = 4$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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20. 某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了 $n$ 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示.

(1)、分别求出 $a ， b ， x ， y$ 的值；

(2)、从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？

(3)、在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.

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21. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点 $(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、设不过原点 $O$ 的直线 $l : y = k x + m (k \neq 0)$ 与椭圆 $E$ 交于 $P, Q$ 两点，直线 $O P, O Q$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，满足 $4 k = k_{1} + k_{2}$ ，试问：当 $k$ 变化时， $m^{2}$ 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由.

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22. 如下图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $C D ⊥ B D$ ， $A B = A D$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $A E ⊥ B D$ ；

(2)、设平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A D = C D = 2$ ， $B C = 4$ ，求二面角 $B - A C - D$ 的正弦值.

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