湖南省株洲市2017-2018学年高三理数教学质量统一检测试卷

试卷更新日期：2018-02-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x < 2} ， B = {x | 2^{x} > 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 2}$ B、 ${x | 1 < x < 2}$ C、 ${x | x > 0}$ D、 ${x | x < 2}$

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2. 已知 $\frac{2}{a + i} = 1 - i$ ，其中 $i$ 为虚数单位， $a \in R$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、 $- 2$

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3. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 是递增数列， $S_{n}$ 是 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.若 $a_{1} + a_{3} = 5 ， a_{1} a_{3} = 4$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、31 B、32 C、63 D、64

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4. 如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影)。设直角三角形有一内角为 $30 °$ ，若向弦图内随机抛掷1000颗米粒（大小忽略不计)，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）

A、134 B、866 C、300 D、500

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5. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数.当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - x$ ，则不等式 $f (x) > 0$ 的解集用区间表示为（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$ D、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$

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6. ${(1 + x - x^{2})}^{10}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A、10 B、30 C、45 D、210

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7. 某三棱柱的三视图如图粗线所示，每个单元格的长度为1，则该三棱柱外接球的表面积为（）

A、 $4 π$ B、 $8 π$ C、 $12 π$ D、 $16 π$

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8. 已知 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[0.5] = 0 ， [1] = 1 ， [2.4] = 2$ .执行如图所示的程序框图，则输出 $S$ 的值为（）

A、450 B、460 C、495 D、550

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9. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{m}}{e^{x}} + n x$ （ $m ， n$ 为整数）的图像如图所示，则 $m ， n$ 的值可能为（）

A、 $m = 2 ， n = - 1$ B、 $m = 2 ， n = 1$ C、 $m = 1 ， n = 1$ D、 $m = 1 ， n = - 1$

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10. 已知 $f (x) = cos ω x ， (ω > 0)$ 的图像关于点 $(\frac{3 π}{4} ， 0)$ 对称，且 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{2 π}{3})$ 上单调，则 $ω$ 的值为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{10}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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11. 已知抛物线 $C_{1} ： y^{2} = 4 x$ 和圆 $C_{2} ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，直线 $y = k (x - 1)$ 与 $C_{1} ， C_{2}$ 依次相交于 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2}) ，$ $C (x_{3} ， y_{3}) ， D (x_{4} ， y_{4})$ 四点（其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ），则 $| A B | \cdot | C D |$ 的值为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{k^{2}}{4}$ D、 $k^{2}$

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12. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱 $A A_{1} ， B B_{1} ， C C_{1}$ ，分别交于三点 $M ， N ， Q$ ，若 $Δ M N Q$ 为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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二、填空题

13. 已知 $Δ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $E$ 为边 $B C$ 的中点，则 $\overset{⇀}{A E} \cdot \overset{⇀}{A B} =$ ．

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14. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} 1 \leq x + y \leq 2 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值为．

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15. 已知双曲线 $E$ 经过正方形的四个顶点，且双曲线的焦距等于该正方形的边长，则双曲线 $E$ 的离心率为．

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16. 如表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列， $a_{i j}$ 表示位于第 $i$ 行第 $j$ 列的数.则112在这“等差数阵”中出现的次数为．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中， $A = 30 ° ， B C = 2 \sqrt{5}$ ，点 $D$ 在 $A B$ 边上，且 $∠ B C D$ 为锐角， $C D = 2 ， Δ B C D$ 的面积为4.

(1)、求 $cos ∠ B C D$ 的值；

(2)、求边 $A C$ 的长.

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18. 如图，在几何体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A D E F$ 为矩形，四边形 $A B C D$ 为梯形， $A B / / C D$ ，平面 $C B E$ 与平面 $B D E$ 垂直，且 $C B ⊥ B E$ .

(1)、求证： $E D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A B ⊥ A D ， A B = A D = 1$ ，且平面 $B C E$ 与平面 $A D E F$ 所成锐二面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ，求 $A F$ 的长.

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19. 某协会对 $A ， B$ 两家服务机构进行满意度调查，在 $A ， B$ 两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了1000人，每人分别对这两家服务机构进行评分，满分均为60分.
整理评分数据，将分数以 10 为组距分成6 组： $[0 ， 10) ， [10 ， 20) ， [20 ， 30) ， [30 ， 40) ， [40 ， 50) ， [50 ， 60]$ ，得到 $A$ 服务机构分数的频数分布表， $B$ 服务机构分数的频率分布直方图：
定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下：

(1)、在抽样的1000人中，求对 $B$ 服务机构评价“满意度指数”为0的人数；

(2)、从在 $A ， B$ 两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取1人进行调查，试估计其对 $B$ 服务机构评价的“满意度指数”比对 $A$ 服务机构评价的“满意度指数”高的概率；

(3)、如果从 $A ， B$ 服务机构中选择一家服务机构，你会选择哪一家？说明理由

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与直线 $l ： b x - a y = 0$ 都经过点 $M (2 \sqrt{2} ， \sqrt{2})$ .直线 $m$ 与 $l$ 平行，且与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，直线 $M A ， M B$ 与 $x$ 轴分别交于 $E ， F$ 两点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、证明： $Δ M E F$ 为等腰三角形.

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21. 已知函数 $f (x) = ln x + a {(x - 1)}^{2} (a > 0)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 1)$ 内有唯一的零点 $x_{0}$ ，证明： $e^{- \frac{3}{2}} < x_{0} < e^{- 1}$ .

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22. 已知曲线 $C$ 的极坐标方程是 $ρ = 4 cos θ$ ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 $x$ 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 $m$ 的参数方程是 ${\begin{matrix} x = 1 + t c o s α \\ y = t s i n α \end{matrix}$ ( $t$ 为参数).

(1)、将曲线 $C$ 的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)、若直线 $m$ 与曲线 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，且 $| A B | = \sqrt{14}$ ，求直线 $m$ 的倾斜角 $α$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 1 | - | x | + a$ ，

(1)、若 $a = - 1$ ，求不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集；

(2)、若方程 $f (x) = 2 x$ 有三个不同的解，求 $a$ 的取值范围.

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