广东省茂名市2018届高三上学期文数第一次综合测试试卷

试卷更新日期：2018-02-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合A={x|−1＜x＜3}，B={−1， 0， 1， 2}，则A∩B=（）

A、{−1， 0， 1， 2} B、{x|−1＜x＜3} C、{0，1， 2} D、{−1， 0， 1}

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2. 已知复数z满足zi=2+i，i是虚数单位，则|z|=（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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3. 在1， 2， 3， 6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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4. 已知变量 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} y \leq 2 ， \\ x + y \geq 4 ， \\ x - y \leq 1 ， \end{matrix}$ 则 $z = 3 x + y$ 的最小值为（）

A、11 B、12 C、8 D、3

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5. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，若a₂+a₈=10，则S₉= （）

A、20 B、35 C、45 D、90

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6. 已知抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的准线与x轴交于点D ，与双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - y^{2} = 1$ 交于A ， B两点，点F为抛物线的焦点，若△ADF为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{21}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{2}$

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7. 已知函数f(x)=sin(wx+j) (w＞0， 0＜j＜ $\frac{π}{2}$ )，f(x₁)=1，f(x₂)=0，若|x₁–x₂|_min= $\frac{1}{2}$ ，且f( $\frac{1}{2}$ ) = $\frac{1}{2}$ ，则f(x)的单调递增区间为（）

A、 $[- \frac{1}{6} + 2 k ， \frac{5}{6} + 2 k] ， k \in Z$ B、 $[- \frac{5}{6} + 2 k ， \frac{1}{6} + 2 k] ， k \in Z .$ C、 $[- \frac{5}{6} + 2 k π ， \frac{1}{6} + 2 k π] ， k \in Z$ D、 $[\frac{1}{6} + 2 k ， \frac{7}{6} + 2 k] ， k \in Z$

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8. 函数 $f (x) = \frac{e^{| x |}}{3 x}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯.

A、24 B、48 C、12 D、60

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10. 执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是（）

A、2 018 B、−1 C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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11. 如图所示为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：
①AF⊥GC；
②BD与GC成异面直线且夹角为60°；
③BD∥MN；
④BG与平面ABCD所成的角为45°.
其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 定义在R上函数 $y = f (x + 2)$ 的图象关于直线x=−2对称，且函数 $f (x + 1)$ 是偶函数. 若当x∈[0，1]时， $f (x) = sin \frac{π}{2} x$ ，则函数 $g (x) = f (x) - e^{- | x |}$ 在区间[−2018，2018]上零点的个数为（）

A、2017 B、2018 C、4034 D、4036

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二、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (2, 1), \vec{a} - 2 \vec{b} = (1, 1),$ 则 $\vec{a} • \vec{b} =$ ．

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14. 曲线 $y = ln (x + 1)$ 在点(1， ln2)处的切线方程为．

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15. 从原点O向圆C： $x^{2} + y^{2} - 12 y + 27 = 0$ 作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为．

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16. 如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB= $\sqrt{3}$ ，∠ACB=60°，∠BCD=90°，AB⊥CD ， CD= $2 \sqrt{2}$ ，则该球的体积为．

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三、解答题

17. 已知△ABC的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且 $2 c \cdot cos B - b = 2 a$ .
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）设角A的平分线交BC于D ，且AD= $\sqrt{3}$ ，若b= $\sqrt{2}$ ，求△ABC的面积.

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18. 在四棱锥P−ABCD中，AD∥BC ，平面PAC⊥平面ABCD ， AB=AD=DC=1，∠ABC=∠DCB=60°，E是PC上一点.

（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面PAC；

（Ⅱ）若△PAC是正三角形，且E是PC中点，求三棱锥A−EBC的体积.

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19. 一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表：
温度x/℃
21
23
24
27
29
32
产卵数y/个
6
11
20
27
57
77
经计算得： $\bar{x} = \frac{1}{6} \sum_{i = 1}^{6} x_{i} = 26$ ， $\bar{y} = \frac{1}{6} \sum_{i = 1}^{6} y_{i} = 33$ ， $\sum_{i = 1}^{6} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 557$ ， $\sum_{i = 1}^{6} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 84$ ，
$\sum_{i = 1}^{6} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 3930$ ，线性回归模型的残差平方和 $\sum_{i = 1}^{6} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2} = 236.64$ ，e^8.0605≈3167，其中x_i ， y_i分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1， 2， 3， 4， 5， 6.
(Ⅰ)若用线性回归模型，求y关于x的回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ （精确到0.1）；
(Ⅱ)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为 $\hat{y}$ =0.06e^0.2303x ，且相关指数R²=0.9522.
( i )试与(Ⅰ)中的回归模型相比，用R²说明哪种模型的拟合效果更好.
(ii)用拟合效果好的模型预测温度为35℃时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.
附：一组数据(x₁ ， y₁)， (x₂ ， y₂)， ...，(x_n ， y_n)，其回归直线 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计为
$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ，$ $\hat{a}$ = $\bar{y}$ − $\hat{b} \bar{x}$ ；相关指数R²= $1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ ．

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20. 已知椭圆C₁以直线 $m x + y - \sqrt{5} = 0$ 所过的定点为一个焦点，且短轴长为4.
（Ⅰ）求椭圆C₁的标准方程；
（Ⅱ）已知椭圆C₂的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C₁的长轴和短轴的长的l倍(l＞1)，过点C(−1,0)的直线l与椭圆C₂交于A ， B两个不同的点，若 $\overset{⇀}{A C} = 2 \overset{⇀}{C B}$ ，求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程.

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21. 已知函数 $g (x) = ln x + 2 x + \frac{a}{x}$ (a∈R).
（Ⅰ）讨论 $g (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）若 $f (x) = \frac{1}{x + 1} [g (x) - 2 x - \frac{a}{x}] + \frac{1}{x}$ . 证明：当 $x > 0$ ，且 $x \neq 1$ 时， $f (x) > \frac{ln x}{x - 1}$ ．

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22. 在直角坐标系xOy中，直线l经过点P(−2,0)，其倾斜角为a ，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为 $ρ - 4 cos θ = 0$ ．
（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角a的取值范围；
（Ⅱ）设M(x,y)为曲线C上任意一点，求 $x + \sqrt{3} y$ 的取值范围．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 3 | - | x + 5 |$ ．
（Ⅰ）求不等式 $f (x) \geq 2$ 的解集；
（Ⅱ）设函数 $f (x)$ 的最大值为M ，若不等式 $x^{2} + 2 x + m \leq M$ 有解，求m的取值范围．

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温度x/℃	21	23	24	27	29	32
产卵数y/个	6	11	20	27	57	77