福建省泉州市2018届高中毕业班1月文数质量检查试卷

试卷更新日期：2018-02-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) \cdot z = 2$ ，则其共轭复数 $\bar{z}$ $=$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $2 - 2 i$ D、 $2 + 2 i$

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2. 若集合 $A = {x | 0 < x < a ， x \in N}$ 有且只有一个元素，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $[1 ， 2]$ C、 $[1 ， 2)$ D、 $(1 ， 2]$

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3. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 是递增数列， $a_{1} + a_{7} = 65 ， a_{1} a_{7} = 64$ ，则公比 $q =$ （）

A、 $\pm 4$ B、 $4$ C、 $\pm 2$ D、 $2$

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4. 已知 $a = ln \frac{π}{3} ， b = ln \frac{e}{3} ， c = e^{0.5}$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $c > b > a$ C、 $c > a > b$ D、 $a > b > c$

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5. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，若 $2 S_{n} = 3 a_{n} + 1$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、 $27$ B、 $- 27$ C、 $\frac{1}{27}$ D、 $- \frac{1}{27}$

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6. 已知函数 $f (x) = sin π x + cos π x$ ，则（）

A、 $y = f (x)$ 的周期为 $2$ ，其图象关于直线 $x = \frac{1}{4}$ 对称 B、 $y = f (x)$ 的周期为 $2$ ，其图象关于直线 $x = - \frac{1}{4}$ 对称 C、 $y = f (x)$ 的周期为 $1$ ，其图象关于直线 $x = \frac{1}{4}$ 对称 D、 $y = f (x)$ 的周期为 $1$ ，其图象关于直线 $x = - \frac{1}{4}$ 对称

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7. 执行如图所示的程序框图，如果输入的 $x = 3$ ，则输出的 $x =$ （）

A、 $3$ B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{4}{3}$

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8. 在直角坐标系 $x O y$ 中， $P ， Q$ 为单位圆 $O$ 上不同的两点， $P$ 的横坐标为 $\frac{1}{2}$ ，若 $\overset{⇀}{O P} \cdot \overset{⇀}{O Q} = - \frac{1}{2}$ ，则 $Q$ 的横坐标是（）

A、 $- 1$ B、 $- 1$ 或 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $1$ 或 $- \frac{1}{2}$

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9. 如图，网格纸上小正方形的边长为 $1$ ，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $2$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $4$

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10. 实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x - y + 2 \geq 0 \\ x - 2 y + 2 \leq 0 \\ x \geq 2 \end{matrix}$ ，则 $z = 3 x + y$ 的最大值为（）

A、 $- 6$ B、 $- 2$ C、 $8$ D、 $10$

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11. 设点 $F_{1}$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点，点 $P$ 为 $C$ 右支上一点，点 $O$ 为坐标原点，若 $Δ O P F_{1}$ 是底角为 $30^{0}$ 的等腰三角形，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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12. 设函数 $f (x) = ln x - a x^{2} - (a - 2) x$ ，若不等式 $f (x) > 0$ 恰有两个整数解，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{6 + ln 3}{12} ， \frac{4 + ln 2}{6})$ B、 $(\frac{6 + ln 3}{12} ， \frac{4 + ln 2}{6})$ C、 $[1 ， \frac{4 + ln 2}{6})$ D、 $(1 ， \frac{4 + ln 2}{6}]$

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二、填空题

13. 已知向量 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 满足 $\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} = (3 ， 4) ， \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} = (1 ， 2)$ ，则 $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} =$ ．

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14. 若函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{x - 1} + 1 ， x > 1 \\ 1 - {(\frac{1}{2})}^{x - 1} ， x < 1 \end{matrix}$ ，则 $f (a) + f (2 - a) =$ ．

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15. 若二次函数 $f (x) = a x^{2} - x + b$ 的最小值为 $0$ ，则 $a + 4 b$ 的取值范围为．

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16. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A C = C D = \sqrt{2} ， A B = A D = B D = B C = 1$ ，若三棱锥的所有顶点，都在同一球面上，则球的表面积是．

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三、解答题

17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (4 ， 4)$ 在抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上.

(1)、求 $C$ 的方程和 $C$ 的焦点的坐标；

(2)、设点 $B$ 为准线与 $x$ 轴的交点，直线 $l$ 过点 $B$ ，且与直线 $O A$ 垂直，求证： $l$ 与 $C$ 相切.

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18. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{2} = 4 ， S_{5} = 30$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前 $n$ 项和.

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19. 已知 $a ， b ， c$ 分别为 $Δ A B C$ 内角的对边 $A ， B ， C$ ， $a = 2 c$ .

(1)、若 $B = \frac{π}{2} ， D$ 为 $A C$ 的中点，求 $cos ∠ B D C$ ；

(2)、若 $a^{2} + 2 (b^{2} - 2 c^{2}) cos A = b^{2} + c^{2}$ ，判断 $Δ A B C$ 的形状，并说明理由.

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20. 若图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $A B C$ ，且 $Δ A B C$ 和 $Δ A_{1} B C$ 均为正三角形.

(1)、在 $B_{1} C_{1}$ 上找一点 $P$ ，使得 $A_{1} P ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ ，并说明理由.

(2)、若 $Δ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求四棱锥 $A_{1} - B C C_{1} B_{1}$ 的体积.

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21. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过 $A (a ， 0) ， B (0 ， 1) ， O$ 为坐标原点，线段 $A B$ 的中点在圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 上.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l ： y = k x + m$ 不过曲线 $C$ 的右焦点 $F$ ，与 $C$ 交于 $P ， Q$ 两点，且 $l$ 与圆 $O$ 相切，切点在第一象限， $Δ F P Q$ 的周长是否为定值？并说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ .

(1)、设 $F (x) = f (x) - a$ ，若曲线 $y = F (x)$ 在 $(0 ， F (0))$ 处的切线很过定点 $A$ ，求 $A$ 的坐标；

(2)、设 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，当 $x \geq 1$ 时， $f (x) - f^{'} (1) \geq 1 - \frac{1}{x}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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