上海市静安区2017-2018学年高三上学期数学教学质量检测试卷

试卷更新日期：2018-02-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. “抛物线 $y = a x^{2}$ 的准线方程为 $y = 2$ ”是“抛物线 $y = a x^{2}$ 的焦点与双曲线 $\frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ 的焦点重合”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列一定成立的是（）

A、若 $a_{3} > 0$ ，则 $a_{2015} < 0$ ； B、若 $a_{4} > 0$ ，则 $a_{2014} < 0$ ； C、若 $a_{3} > 0$ ，则 $S_{2015} > 0$ ； D、若 $a_{4} > 0$ ，则 $S_{2014} > 0$ ．

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3. 某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）

A、336种 B、320种 C、192种 D、144种

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4. 已知椭圆 $C_{1}$ 抛物线 $C_{2}$ 焦点均在 $x$ 轴上， $C_{1}$ 的中心和 $C_{2}$ 顶点均为原点 $O$ ，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则 $C_{1}$ 的左焦点到 $C_{2}$ 的准线之间的距离为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、1 D、2

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5. 对于集合 $A$ ，定义了一种运算“ $\oplus$ ”，使得集合 $A$ 中的元素间满足条件：如果存在元素 $e \in A$ ，使得对任意 $a \in A$ ，都有 $e \oplus a = a \oplus e = a$ ，则称元素 $e$ 是集合 $A$ 对运算“ $\oplus$ ”的单位元素．例如： $A = R$ ，运算“ $\oplus$ ”为普通乘法；存在 $1 \in R$ ，使得对任意 $a \in A$ ，都有 $1 \times a = a \times 1 = a$ ，所以元素 $1$ 是集合 $R$ 对普通乘法的单位元素．
下面给出三个集合及相应的运算“ $\oplus$ ”：
② $A = R$ ，运算“ $\oplus$ ”为普通减法；
② $A = {A_{m \times n} | A_{m \times n}$ 表示 $m \times n$ 阶矩阵， $m \in N^{*} ， n \in N^{*}$ }，运算“ $\oplus$ ”为矩阵加法；
③ $A = {X | X \subseteq M}$ （其中 $M$ 是任意非空集合），运算“ $\oplus$ ”为求两个集合的交集．
其中对运算“ $\oplus$ ”有单位元素的集合序号为（）

A、①② B、①③ C、①②③ D、②③

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二、填空题

6. 若复数 $\frac{a - 2 i}{1 + 2 i}$ （ $i$ 是虚数单位）是纯虚数，则实数 $a =$ ．

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7. 若 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = {log}_{2} (2 - x)$ ，则 $f (0) + f (2) =$ ．

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8. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是

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9. 在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $∠ D A B = 60^{°}$ ， $E$ 为 $C D$ 的中点，则 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A E}$ 的值是；

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10. 用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米．

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11. 已知 $α$ 为锐角，且 $cos (α + \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ，则 $sin α$ ．

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12. 设函数 $f (x) = \frac{\sqrt{15}}{2} sin (π x)$ ，若存在 $x_{0} \in (- 1 ， 1)$ 同时满足以下条件：①对任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x) \leq f (x_{0})$ 成立；② $x_{0}^{2} + {[f (x_{0})]}^{2} < m^{2}$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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13. 若不等式 $x^{2} < | x - 1 | + a$ 的解集是区间 $(- 3 ， 3)$ 的子集，则实数 $a$ 的取值范围为．

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14. 已知 $f (x) = a^{x} - b$ $（ (a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， $b \in R$ )， $g (x) = x + 1$ ，若对任意实数 $x$ 均有 $f (x) \cdot g (x) \leq 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为．

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15. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为2， $O$ 为 $A D$ 的中点，射线 $O P$ 从 $O A$ 出发，绕着点 $O$ 顺时针方向旋转至 $O D$ ，在旋转的过程中，记 $∠ A O P$ 为 $x$ $(x \in [0 ， π])$ ， $O P$ 所经过的在正方形 $A B C D$ 内的区域（阴影部分）的面积 $S = f (x)$ ，那么对于函数 $f (x)$ 有以下三个结论：
① $f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ；② 对任意 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，都有 $f (\frac{π}{2} - x) + f (\frac{π}{2} + x) = 4$ ；
③ 对任意 $x_{1} ， x_{2} \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ；
其中所有正确结论的序号是；

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三、解答题

16. 将边长为 $1$ 的正方形 $A A_{1} O_{1} O$ （及其内部）绕 $O O_{1}$ 旋转一周形成圆柱，如图， $\vec{A C}$ 长为 $\frac{2 π}{3}$ ， $\vec{A_{1} B_{1}}$ 长为 $\frac{π}{3}$ ，其中 $B_{1}$ 与 $C$ 在平面 $A A_{1} O_{1} O$ 的同侧.

(1)、求三棱锥 $C - O_{1} A_{1} B_{1}$ 的体积；

(2)、求异面直线 $B_{1} C$ 与 $A A_{1}$ 所成的角的大小.

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17. 设双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ， $F_{1} ， F_{2}$ 为其左右两个焦点．

(1)、设 $O$ 为坐标原点， $M$ 为双曲线 $C$ 右支上任意一点，求 $\overset{⇀}{O M} \cdot \overset{⇀}{F_{1} M}$ 的取值范围；

(2)、若动点 $P$ 与双曲线 $C$ 的两个焦点 $F_{1} ， F_{2}$ 的距离之和为定值，且 $cos ∠ F_{1} P F_{2}$ 的最小值为 $- \frac{1}{9}$ ，求动点 $P$ 的轨迹方程．

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18. 如图，在海岸线 $E F$ 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段 $F G B C$ ，该曲线段是函数 $y = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， φ \in (0 ， π))$ ， $x \in [- 4 ， 0]$ 的图像，图像的最高点为 $B (- 1 ， 2)$ ．边界的中间部分为长1千米的直线段 $C D$ ，且 $C D ∥ E F$ ．游乐场的后一部分边界是以 $O$ 为圆心的一段圆弧 $\overset{⌢}{D E}$ ．

(1)、求曲线段 $F G B C$ 的函数表达式；

(2)、曲线段 $F G B C$ 上的入口 $G$ 距海岸线 $E F$ 最近距离为1千米，现准备从入口 $G$ 修一条笔直的景观路到 $O$ ，求景观路 $G O$ 长；

(3)、如图，在扇形 $O D E$ 区域内建一个平行四边形休闲区 $O M P Q$ ，平行四边形的一边在海岸线 $E F$ 上，一边在半径 $O D$ 上，另外一个顶点P在圆弧 $\overset{⌢}{D E}$ 上，且 $∠ P O E = θ$ ，求平行四边形休闲区 $O M P Q$ 面积的最大值及此时 $θ$ 的值．

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19. 设集合 $M_{a} = {f (x) |$ 存在正实数 $a$ ，使得定义域内任意 $x$ 都有 $f (x + a) > f (x)}$ ．

(1)、若 $f (x) = 2^{x} - x^{2}$ ，试判断 $f (x)$ 是否为 $M_{1}$ 中的元素，并说明理由；

(2)、若 $g (x) = x^{3} - \frac{1}{4} x + 3$ ，且 $g (x) \in M_{a}$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $h (x) = {log}_{3} (x + \frac{k}{x}) ， x \in [1 ， + \infty)$ （ $k \in R$ ），且 $h (x) \in M_{2}$ ，求 $h (x)$ 的最小值．

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20. 设数列 ${a_{n}}$ 满足：① $a_{1} = 1$ ；②所有项 $a_{n} \in N^{*}$ ；③ $1 = a_{1} < a_{2} < \cdot \cdot \cdot < a_{n} < a_{n + 1} < \cdot \cdot \cdot$ ．
设集合 $A_{m} = {n | a_{n} \leq m ， m \in N^{*}}$ ，将集合 $A_{m}$ 中的元素的最大值记为 $b_{m}$ ．换句话说， $b_{m}$ 是
数列 ${a_{n}}$ 中满足不等式 $a_{n} \leq m$ 的所有项的项数的最大值．我们称数列 ${b_{n}}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的
伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．

(1)、若数列 ${a_{n}}$ 的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列 ${a_{n}}$ ；

(2)、设 $a_{n} = 3^{n - 1}$ ，求数列 ${a_{n}}$ 的伴随数列 ${b_{n}}$ 的前100之和；

(3)、若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{3}{2} n^{2} - \frac{1}{2} n + c$ （其中 $c$ 常数），试求数列 ${a_{n}}$ 的伴随数列 ${b_{n}}$ 前 $m$ 项和 $T_{m}$ ．

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