北京市西城区2017—2018学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-02-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $x + y + \sqrt{3} = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $135^{\circ}$

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2. 命题“对任意 $x > 3$ ，都有 $ln x > 1$ ”的否定是（）

A、存在 $x > 3$ ,使得 $ln x > 1$ B、对任意 $x > 3$ ,都有 $ln x \leq 1$ C、存在 $x > 3$ ,使得 $ln x \leq 1$ D、对任意 $x \leq 3$ ,都有 $ln x > 1$

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3. 双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 的焦点到其渐近线的距离为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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4. 设 $α, β$ 是两个不同的平面， $a, b, c$ 是三条不同的直线，（）

A、若 $a ⊥ b$ ， $b ⊥ c$ ，则 $a // c$ B、若 $a // α$ ， $b // α$ ，则 $a // b$ C、若 $a ⊥ b$ ， $a ⊥ α$ ，则 $b // α$ D、若 $a ⊥ α$ ， $a ⊥ β$ ，则 $α // β$

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5. “ $n > m > 0$ ” 是“方程 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1$ 表示的曲线为椭圆”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 设 $α, β$ 是两个不同的平面， $l$ 是一条直线，若 $l // α$ ， $l // β$ ， $α \cap β = m$ ，则（）

A、 $l$ 与 $m$ 平行 B、 $l$ 与 $m$ 相交 C、 $l$ 与 $m$ 异面 D、以上三个答案均有可能

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7. 设 $O$ 为坐标原点， $P$ 是以 $F$ 为焦点的抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上任意一点， $M$ 是线段 $P F$ 的中点，则直线 $O M$ 的斜率的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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8. 设 $α$ 为空间中的一个平面，记正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的八个顶点中到 $α$ 的距离为 $d (d > 0)$ 的点的个数为 $m$ ， $m$ 的所有可能取值构成的集合为 $M$ ，则有（）

A、 $4 \in M$ ， $6 \notin M$ B、 $5 \notin M$ ， $6 \notin M$ C、 $4 \notin M$ ， $6 \in M$ D、 $5 \notin M$ ， $6 \in M$

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二、填空题

9. 命题“若 $a^{2} - b^{2} = 0$ ，则 $a = b$ ”的逆否命题为.

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10. 经过点 $M (2, 1)$ 且与直线 $3 x - y + 8 = 0$ 垂直的直线方程为.

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11. 在 $Δ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $A B ⊥ B C$ . 以 $B C$ 所在的直线为轴将 $Δ A B C$ 旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为.

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12. 若双曲线 $C$ 的一个焦点在直线 $l ： 4 x - 3 y +20=0$ 上，一条渐近线与 $l$ 平行，且双曲线 $C$ 的焦点在x轴上，则双曲线 $C$ 的标准方程为；离心率为.

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13. 一个四棱锥的三视图如图所示，那么在这个四棱锥的四个侧面三角形中，有个直角三角形.

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14. 在平面直角坐标系中，曲线 $C$ 是由到两个定点 $A (1, 0)$ 和点 $B (- 1, 0)$ 的距离之积等于 $\sqrt{2}$ 的所有点组成的. 对于曲线 $C$ ，有下列四个结论：
①曲线 $C$ 是轴对称图形；
②曲线 $C$ 是中心对称图形；
③曲线 $C$ 上所有的点都在单位圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 内；
④曲线 $C$ 上所有的点的纵坐标 $y \in [- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ .
其中，所有正确结论的序号是.

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三、解答题

15. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 为 $A B$ 的中点.
（Ⅰ）求证： $C D ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；
（Ⅱ）求证： $B C_{1} //$ 平面 $A_{1} C D$ .

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16. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + m = 0$ ，其中 $m \in R$ .
（Ⅰ）如果圆 $C$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相外切，求 $m$ 的值；
（Ⅱ）如果直线 $x + y - 3 = 0$ 与圆 $C$ 相交所得的弦长为 $2 \sqrt{7}$ ，求 $m$ 的值.

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17. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B // C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D = C D = 1$ ， $A A_{1} = A B = 2$ ， $E$ 为 $A A_{1}$ 的中点.
（Ⅰ）求四棱锥 $C - A E B_{1} B$ 的体积；
（Ⅱ）设点 $M$ 在线段 $C_{1} E$ 上，且直线 $A M$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求线段 $A M$ 的长度；
（Ⅲ）判断线段 $B_{1} C$ 上是否存在一点 $N$ ，使得 $N E // C D$ ？（结论不要求证明）

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18. 设 $F$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 2 x$ 的焦点， $A ， B$ 是抛物线 $C$ 上的两个动点， $O$ 为坐标原点.
（Ⅰ）若直线 $A B$ 经过焦点 $F$ ，且斜率为2，求 $| A B |$ ；
（Ⅱ）当 $O A ⊥ O B$ 时，求 $| O A | \cdot | O B |$ 的最小值.

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19. 如图，在四面体 $A - B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $B C ⊥ C D$ ， $B C = C D = A D = 2$ ， $M$ 为 $A C$ 的中点.
（Ⅰ）求证： $B C ⊥ M D$ ；
（Ⅱ）求二面角 $B - M D - C$ 的余弦值.
（Ⅲ）求四面体 $A - B C D$ 的外接球的表面积.
（注：如果一个多面体的顶点都在球面上，那么常把该球称为多面体的外接球. 球的表面积 $S = 4 π R^{2}$ ）

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $(\sqrt{5} ， 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ . 点 $P$ 为圆 $M ： x^{2} + y^{2} = 13$ 上任意一点， $O$ 为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（Ⅱ）记线段 $O P$ 与椭圆 $C$ 交点为 $Q$ ，求 $| P Q |$ 的取值范围；
（Ⅲ）设直线 $l$ 经过点 $P$ 且与椭圆 $C$ 相切， $l$ 与圆 $M$ 相交于另一点 $A$ ，点 $A$ 关于原点 $O$ 的对称点为 $B$ ，试判断直线 $P B$ 与椭圆 $C$ 的位置关系，并证明你的结论.

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