河北衡水金卷2018届高三理数高考一模试卷

试卷更新日期：2018-01-29 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - x^{2} + 4 x \geq 0}$ ， $B = {x | \frac{1}{81} < 3^{x} < 27}$ ， $C = {x | x = 2 n, n \in N}$ ，则 $(A \cup B) \cap C =$ （）

A、 ${2, 4}$ B、 ${0, 2}$ C、 ${0, 2, 4}$ D、 ${x | x = 2 n, n \in N}$

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2. 设 $i$ 是虚数单位，若 $i (x + y i) = \frac{5 i}{2 - i}$ ， $x$ ， $y \in R$ ，则复数 $x + y i$ 的共轭复数是（）

A、 $2 - i$ B、 $- 2 - i$ C、 $2 + i$ D、 $- 2 + i$

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和是 $S_{n}$ ，且 $a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7} = 18$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $a_{5}$ 是常数 B、 $S_{5}$ 是常数 C、 $a_{10}$ 是常数 D、 $S_{10}$ 是常数

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4. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）

A、 $\frac{3}{16}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

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5. 已知点 $F$ 为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右焦点，直线 $x = a$ 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 $A$ ，若 $A F$ 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $1 + \sqrt{2}$ C、 $1 + \sqrt{5}$ D、 $- 1 + \sqrt{5}$

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} s i n x, x \in [- π, 0], \\ \sqrt{1 - x^{2}}, x \in (0, 1], \end{matrix}$ 则 $\int \begin{matrix} 1 \\ - π \end{matrix} f (x) d x =$ （）

A、 $2 + π$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $- 2 + \frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{4} - 2$

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7. 执行如图所示的程序框图，则输出的 $S$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2021}$ B、 $\sqrt{2019}$ C、 $2 \sqrt{505}$ D、 $2 \sqrt{505} - 1$

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8. 已知函数 $f (x) = sin ω x cos ω x - \sqrt{3} {cos}^{2} ω x + \frac{\sqrt{3}}{2}$ （ $ω > 0$ ）的相邻两个零点差的绝对值为 $\frac{π}{4}$ ，则函数 $f (x)$ 的图象（）

A、可由函数 $g (x) = cos 4 x$ 的图象向左平移 $\frac{5 π}{24}$ 个单位而得 B、可由函数 $g (x) = cos 4 x$ 的图象向右平移 $\frac{5 π}{24}$ 个单位而得 C、可由函数 $g (x) = cos 4 x$ 的图象向右平移 $\frac{7 π}{24}$ 个单位而得 D、可由函数 $g (x) = cos 4 x$ 的图象向右平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位而得

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9. $(2 x - 3) {(1 + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）

A、 $- 73$ B、 $- 61$ C、 $- 55$ D、 $- 63$

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10. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形 $A B C D E F$ 是边长为1的正六边形，点 $G$ 为 $A F$ 的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）

A、 $\frac{31 π}{6}$ B、 $\frac{31 π}{8}$ C、 $\frac{481 π}{64}$ D、 $\frac{31 \sqrt{31} π}{48}$

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11. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 分别作两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，直线 $l_{1}$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，直线 $l_{2}$ 与抛物线 $C$ 交于 $D$ 、 $E$ 两点，若 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的斜率的平方和为1，则 $| A B | + | D E |$ 的最小值为（）

A、16 B、20 C、24 D、32

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12. 若函数 $y = f (x)$ ， $x \in M$ ，对于给定的非零实数 $a$ ，总存在非零常数 $T$ ，使得定义域 $M$ 内的任意实数 $x$ ，都有 $a f (x) = f (x + T)$ 恒成立，此时 $T$ 为 $f (x)$ 的类周期，函数 $y = f (x)$ 是 $M$ 上的 $a$ 级类周期函数．若函数 $y = f (x)$ 是定义在区间 $[0, + \infty)$ 内的2级类周期函数，且 $T = 2$ ，当 $x \in [0, 2)$ 时， $f (x) = {\begin{matrix} \frac{1}{2} - 2 x^{2}, 0 \leq x \leq 1, \\ f (2 - x), 1 < x < 2, \end{matrix}$ 函数 $g (x) = - 2 ln x + \frac{1}{2} x^{2} + x + m$ ．若 $\exists x_{1} \in [6, 8]$ ， $\exists x_{2} \in (0, + \infty)$ ，使 $g (x_{2}) - f (x_{1}) \leq 0$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{5}{2}]$ B、 $(- \infty, \frac{13}{2}]$ C、 $(- \infty, - \frac{3}{2}]$ D、 $[\frac{13}{2}, + \infty)$

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二、填空题

13. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (2 sin α, cos α)$ ， $\overset{⇀}{b} = (1, - 1)$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则 ${(\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b})}^{2}$ $=$ ．

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14. 已知 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - 2 y \leq 0 ， \\ 2 x - y \geq 0 ， \\ x + 4 y - 18 \leq 0 ， \end{matrix}$ 则目标函数 $z = \frac{32^{x}}{8^{y}}$ 的最小值为．

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15. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} \cdot a_{3} = 2 a_{1}$ ，且 $a_{4}$ 与 $2 a_{7}$ 的等差中项为17，设 $b_{n} = a_{2 n - 1} - a_{2 n}$ ， $n \in N *$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和为．

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16. 如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A D / / B C$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A D = 1$ ，点 $E$ 是线段 $C D$ 上异于点 $C$ ， $D$ 的动点， $E F ⊥ A D$ 于点 $F$ ，将 $Δ D E F$ 沿 $E F$ 折起到 $Δ$ $P E F$ 的位置，并使 $P F ⊥ A F$ ，则五棱锥 $P - A B C E F$ 的体积的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知 $Δ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别满足 $c = 2 b = 2$ ， $2 b cos A + a cos C + c cos A = 0$ ，又点 $D$ 满足 $\overset{⇀}{A D} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{2}{3} \overset{⇀}{A C}$ ．

(1)、求 $a$ 及角 $A$ 的大小；

(2)、求 $| \overset{⇀}{A D} |$ 的值．

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18. 在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，且 $B C = B B_{1} = \sqrt{2}$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60 °$ ．

(1)、求证： $B D ⊥ C C_{1}$ ；

(2)、若动点 $E$ 在棱 $C_{1} D_{1}$ 上，试确定点 $E$ 的位置，使得直线 $D E$ 与平面 $B D B_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{14}$ ．

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19. “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕， $A$ 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，

(1)、求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 $\bar{x}$ （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值 $Z$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，利用该正态分布，求 $Z$ 落在 $(14.55 ， 38.45)$ 内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于 $(10 ， 30)$ 内的包数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．
附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为 $σ = \sqrt{142.75} \approx 11.95$ ；
②若 $Z ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < Z \leq μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < Z \leq μ + 2 σ) = 0.9544$ ．

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ ： $y = k x + 2$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，在 $y$ 轴上是否存在点 $D$ ，使直线 $A D$ 与 $B D$ 的斜率之和 $k_{A D} + k_{B D}$ 为定值？若存在，求出点 $D$ 坐标及该定值，若不存在，试说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 (a - 1) x - b$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数.

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上是单调函数，试求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、已知函数 $g (x) = e^{x} - (a - 1) x^{2} - b x - 1$ ，且 $g (1) = 0$ ，若函数 $g (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上恰有3个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 1 + a c o s θ, \\ y = - 1 + a s i n θ, \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数， $a$ 是大于0的常数）．以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{2} cos (θ - \frac{π}{4})$ ．

(1)、求圆 $C_{1}$ 的极坐标方程和圆 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、分别记直线 $l$ ： $θ = \frac{π}{12}$ ， $ρ \in R$ 与圆 $C_{1}$ 、圆 $C_{2}$ 的异于原点的焦点为 $A$ ， $B$ ，若圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 外切，试求实数 $a$ 的值及线段 $A B$ 的长．

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23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数 $f (x) = | 2 x + 1 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \leq 10 - | x - 3 |$ 的解集；

(2)、若正数 $m$ ， $n$ 满足 $m + 2 n = m n$ ，求证： $f (m) + f (- 2 n) \geq 16$ ．

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