吉林长春五县2016-2017学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-01-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的虚轴长是（）

A、8 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、2

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2. 在公差为 $d$ 的等差数列 ${a_{n}}$ 中，“ $d > 1$ ”是“ ${a_{n}}$ 是递增数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 为了了解800名高三学生是否喜欢背诵诗词，从中抽取一个容量为20的样本，若采用系统抽样，则分段的间隔 $k$ 为（）

A、50 B、60 C、30 D、40

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4. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆 $C$ 于 $P 、 Q$ 两点，若 $| F_{1} P | +$ $| F_{1} Q | = 10$ ，则 $| P Q |$ 等于（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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5. 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下，则这100个成绩的平均数为（）

A、3 B、2.5 C、3.5 D、2.75

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6. 某单位有员工120人，其中女员工有72人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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7. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 5)$ 的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则该椭圆的方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{25} + y^{2} = 1$

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8. 已知点 $A (x_{0} ， y_{0})$ 是抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点，且它在第一象限内，焦点为 $F ， O$ 坐标原点，若 $| A F | = \frac{3 p}{2}$ ， $| A O | = 2 \sqrt{3}$ ，则此抛物线的准线方程为（）

A、 B、 $x = - 3$ C、 $x = - 2$ D、 $x = - 1$

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9. 某班 $m$ 名学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图，若在这 $m$ 名学生中，数学成绩不低于100分的人数为33，则 $m$ 等于（）

A、45 B、48 C、50 D、55

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10. 已知定点 $M (- 3, 0)$ ， $N (2, 0)$ ，如果动点 $P$ 满足 $| P M | = 2 | P N |$ ，则点 $P$ 的轨迹所包围的图形面积等于（）

A、 $\frac{100 π}{9}$ B、 $\frac{142 π}{9}$ C、 $\frac{10 π}{3}$ D、 $9 π$

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11. 已知命题 $p$ ：直线 $x + 2 y - \sqrt{2} = 0$ 与直线 $x + 2 y - 6 \sqrt{2} = 0$ 之间的距离不大于1，命题 $q$ ：椭圆 $2 x^{2} + 27 y^{2} = 54$ 与双曲线 $9 x^{2} - 16 y^{2} = 144$ 有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（）

A、 $p \land (\neg q)$ B、 $(\neg p) \land q$ C、 $(\neg p) \land (\neg q)$ D、 $p \land q$

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12. 如图， $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与双曲线分别交于点 $A ， B$ ，且 $A (1 ， \sqrt{3})$ ，若 $Δ A B F_{2}$ 为等边三角形，则 $Δ B F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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二、填空题

13. 已知 $m > 0$ ， $n > 0$ ，向量 $\vec{a} = (m, 1, - 3)$ 与 $\vec{b} = (1, n, 2)$ 垂直，则 $m n$ 的最大值为．

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14. 若 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出 $S$ 的值为．

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15. 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}]$ 上任取一个数 $x$ ，则函数 $f (x) = 3 sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的值不小于0的概率为．

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16. 已知点 $A$ 是抛物线 $C ： x^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点， $O$ 为坐标原点，若 $A ， B$ 是以点 $M (0 ， 10)$ 为圆心， $| O A |$ 的长为半径的圆与抛物线 $C$ 的两个公共点，且 $Δ A B O$ 为等边三角形，则 $p$ 的值是．

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三、解答题

17. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 3 + t, \\ y = \sqrt{3} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{3} sin θ$ .

(1)、写出直线 $l$ 的普通方程及圆 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、点 $P$ 是直线 $l$ 上的点，求点 $P$ 的坐标，使 $P$ 到圆心 $C$ 的距离最小.

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18. 已知 $p$ ：方程 $x^{2} + 2 m x + (m + 2) = 0$ 有两个不等的正根； $q$ ：方程 $\frac{x^{2}}{m + 3} - \frac{y^{2}}{2 m - 1} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的双曲线.

(1)、若 $q$ 为真命题，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若“ $p$ 或 $q$ ”为真，“ $p$ 且 $q$ ”为假，求实数 $m$ 的取值范围

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19. 某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价 $x$ （百元）与日销售量 $y$ （件）之间有如下关系：

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程；

(2)、借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最大？
相关公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - b \bar{x}$ ．

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20. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用 $x$ 表示.

(1)、若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少1，求 $x$ 及乙组同学投篮命中次数的方差；

(2)、在（1）的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中，各随机选取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为16的概率.

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21. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $C B = C D$ ， $A D = D B$ ， $P ， Q$ 分别在线段 $A B ， A C$ 上， $A P = 3 P B$ ， $A Q = 2 Q C$ ， $M$ 是 $B D$ 的中点.

(1)、证明： $D Q / /$ 平面 $C P M$ ；

(2)、若二面角 $C - A B - D$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求 $\tan ∠ B D C$ .

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22. 已知 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ， $| F_{1} F_{2} | = 2 \sqrt{5}$ ，点 $P$ 在椭圆上， $\tan ∠ P F_{2} F_{1} = 2$ ，且的面积为4.

(1)、求椭圆的方程；

(2)、点 $M$ 是椭圆上任意一点， $A_{1} 、 A_{2}$ 分别是椭圆的左、右顶点，直线 $M A_{1} ， M A_{2}$ 与直线 $x = \frac{3 \sqrt{5}}{2}$ 分别交于 $E ， F$ 两点，试证：以 $E F$ 为直径的圆交 $x$ 轴于定点，并求该定点的坐标.

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