辽宁省重点高中协作校2016-2017学年高二下学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-01-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $A = {x | x^{2} - x - 2 = 0}$ ，则 $C_{U} A =$ （）

A、 ${- 2 ， 1}$ B、 ${- 1 ， 2}$ C、 ${- 2 ， 0 ， 1}$ D、 ${2 ， - 1 ， 0}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z = i (1 - i)$ ，( $i$ 为虚数单位)，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、3

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3. 设集合 $A = {x | y = \sqrt{3 x - x^{2} - 2}}$ ， $B = {x | 1 \leq x \leq 3}$ ，则（）

A、 $A = B$ B、 $A \supseteq B$ C、 $A \subseteq B$ D、 $A \cap B = ϕ$

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4. 若复数 $\frac{m + 2 i}{1 - i}$ 为实数( $i$ 为虚数单位)，则实数 $m$ 等于（）

A、1 B、2 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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5. 已知命题 $p ： \exists x \in R$ ，使得 $sin x = \frac{3}{2}$ ；命题 $q ： \forall x \in R$ ，都有 $x^{2} - x + 1 > 0$ ，则以下判断正确的是（）
①命题“ $p \land q$ ”是真命题；②命题“ $p \land (\neg q)$ ”是假命题；
③命题“ $(\neg p) \land q$ ”是真命题；④命题“ $p \lor q$ ”是假命题.

A、②④ B、②③ C、③④ D、①②③

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6. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} 2 x - y + 4 \geq 0 \\ x + y - 4 \leq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = | x | - y$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 ， 4]$ B、 $[- 2 ， 2]$ C、 $[- 4 ， 4]$ D、 $[- 4 ， 2]$

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7. 下列函数既是奇函数，又在间区 $(0 ， 1)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = - \frac{1}{x}$ B、 $y = x^{3} + x$ C、 $y = - x | x |$ D、 $y = ln \frac{1 + x}{1 - x}$

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8. “ $a < 1$ ”是“函数 $f (x) = | x - a | + 2$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上为增函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 函数 $f (x) = \frac{1 - 3^{x}}{1 + 3^{x}} \cdot cos x$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 在对具有线性相关的两个变量 $x$ 和 $y$ 进行统计分析时，得到如下数据：
$x$
4
$m$
8
10
12
$y$
1
2
3
5
6
由表中数据求得 $y$ 关于 $x$ 的回归方程为 $\hat{y} = 0.65 x - 1.8$ ，则 $(4 ， 1)$ ， $(m ， 2)$ ， $(8 ， 3)$ 这三个样本点中落在回归直线下方的有（）个

A、1 B、2 C、3 D、0

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11. 已知函数 $f (x) = a ln x - x + \frac{1}{x}$ ，在区间 $(0 ， \frac{1}{2}]$ 内任取两个不相等的实数 $m$ 、 $n$ ，若不等式 $m f (m) + n f (n) < n f (m) + m f (n)$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $(- \infty ， \frac{5}{2}]$ C、 $[2 ， \frac{5}{2}]$ D、 $[\frac{5}{2} ， + \infty)$

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12. 设 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 3 ， (x > 0) \\ 6 x c o s π x - 1 ， (x \leq 0) \end{matrix}$ ， $g (x) = k x - 1 (x \in R)$ ，若函数 $y = f (x) - g (x)$ 在 $x \in (- 2 ， 4)$ 内有3个零点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- 6 ， 4)$ B、 $[4 ， 6)$ C、 $(5 ， 6) \cup {4}$ D、 $[5 ， 6) \cup {4}$

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二、填空题

13. 写出命题“若 $x^{2} = 4$ ，则 $x = 2$ 或 $x = - 2$ ”的否命题为．

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14. $a > 0$ ， $b > 0$ 时，若 $a + 2 b = 2$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为．

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15. 已知函数 $f (x) = x e^{x}$ ， $f_{1}' (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导数，若 $f_{n + 1} (x)$ 表示 $f_{n}' (x)$ 的导数，则 $f_{2017} (x) =$ ．

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16. 已知 $f' (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导数， $\forall x \in R$ 有 $f (x) - f (2 - x) = 6 x - 6$ ， $(x - 1) [f' (x) - 2 x - 1] < 0$ ，若 $f (m + 1) < f (2 m) - 3 m^{2} + m + 2$ ，则实数 $m$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 4月16日摩拜单车进驻大连市旅顺口区，绿色出行引领时尚，旅顺口区对市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查统计，若将单车用户按照年龄分为“年轻人”(20岁～39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类，抽取一个容量为200的样本，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”。使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”，已知“经常使用单车用户”有120人，其中 $\frac{5}{6}$ 是“年轻人”，已知“不常使用单车用户”中有 $\frac{3}{4}$ 是“年轻人”.

(1)、请你根据已知的数据，填写下列 $2 \times 2$ 列联表：

年轻人
非年轻人
合计
经常使用单车用户

不常使用单车用户

合计

(2)、请根据(1)中的列联表，计算 $χ^{2}$ 值并判断能否有 $95 %$ 的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？
(附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
当 $χ^{2} > 3.841$ 时，有 $95 %$ 的把握说事件 $A$ 与 $B$ 有关；当 $χ^{2} > 6.635$ 时，有 $99 %$ 的把握说事件 $A$ 与 $B$ 有关；当 $χ^{2} \leq 3.841$ 时，认为事件 $A$ 与 $B$ 是无关的)

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18. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + b$ 的最小值为0，不等式 $f (x) < 4$ 的解集为 $A$ .

(1)、求集合 $A$ ；

(2)、设集合 $B = {x | | x - 2 | < a}$ ，若集合 $B$ 是集合 $A$ 的子集，求 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = - a ln x + x - \frac{a}{x}$ ( $a$ 为常数)有两个不同的极值点.

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、记 $f (x)$ 的两个不同的极值点分别为 $x_{1} ， x_{2}$ ，若不等式 $f (x_{1}) + f (x_{2}) > λ {(x_{1} + x_{2})}^{2}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x^{2} - a x$ .

(1)、 $x \in R$ 时，证明： $e^{x} \geq x + 1$ ；

(2)、当 $a = 2$ 时，直线 $y = k x + 1$ 和曲线 $y = f (x)$ 切于点 $A (m, n) (m < 1)$ ，求实数 $k$ 的值；

(3)、当 $0 < x \leq 1$ 时，不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，倾斜角为 $α$ 的直线 $l$ 过点 $M (- 2, - 4)$ ，以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ {sin}^{2} θ = 2 cos θ$ .

(1)、写出直线 $l$ 的参数方程( $α$ 为常数)和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $| M A | \cdot | M B | = 40$ ，求倾斜角 $α$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x) = | x + \frac{4}{m} | + | x - m | (m > 0)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 的最小值为5，求实数 $m$ 的值；

(2)、求使得不等式 $f (1) > 5$ 成立的实数 $m$ 的取值范围.

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23. (Ⅰ)在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程是 ${\begin{matrix} x = 2 c o s α \\ y = 2 + 2 s i n α \end{matrix}$ ( $α$ 为参数， $0 \leq α \leq π$ )，以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.

(1)、写出 $C$ 的极坐标方程；

(2)、若 $A, B$ 为曲线 $C$ 上的两点，且 $∠ A O B = \frac{π}{3}$ ，求 $| O A | + | O B |$ 的范围.

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24. 已知函数 $f (x) = | 2 x - a | + | 2 x - 4 |$ ， $g (x) = | x - 2 | + 1$ .

(1)、 $a = 0$ 时，解不等式 $f (x) \geq 8$ ；

(2)、若对任意 $x_{1} \in R$ ，存在 $x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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	年轻人	非年轻人	合计
经常使用单车用户
不常使用单车用户
合计

$x$	4	$m$	8	10	12
$y$	1	2	3	5	6