辽宁省重点高中协作校2016-2017学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-01-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | y = log (- x^{2} + 2 x)}$ ， $B = {y | y = 1 + \sqrt{2 x + 1}}$ ，那么 $A \cap (C_{U} B) =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 1}$ B、 ${x | x < 0}$ C、 ${x | x > 2}$ D、 ${x | 1 < x < 2}$

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2. 复数 $\frac{2}{1 - i} - 2 i$ ( $i$ 为虚数单位)的共轭复数的虚部等于（）

A、 $- 1$ B、 $1 - i$ C、 $i$ D、1

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3. 若 $\int_{1}^{n} (2 x - 1) d x = 6$ ，则二项式 ${(1 - 2 x)}^{n}$ 的展开式各项系数和为（）

A、 $- 1$ B、 $2^{6}$ C、1 D、 $2^{n}$

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4. 设随机变量 $X$ 服从二项分布，且期望 $E (X) = 3$ ， $p = \frac{1}{5}$ ，则方差 $D (X)$ 等于（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、 $2$

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5. 在1，2，3，4，5，6，7，8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字4是取出的五个不同数的中位数的概率为（）

A、 $\frac{9}{56}$ B、 $\frac{9}{28}$ C、 $\frac{9}{14}$ D、 $\frac{5}{9}$

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6. 已知 ${(1 + x)}^{n}$ 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为（）

A、 $2^{12}$ B、 $2^{11}$ C、 $2^{10}$ D、 $2^{9}$

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7. 设随机变量 $X ～ N (3 ， a^{2})$ ，若 $P (X > m) = 0.3$ ，则 $P (m > X > 6 - m) =$ （）

A、 $0.4$ B、 $0.6$ C、 $0.7$ D、 $0.8$

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8. 在对具有线性相关的两个变量 $x$ 和 $y$ 进行统计分析时，得到如下数据：
$x$
4
$m$
8
10
12
$y$
1
2
3
5
6
由表中数据求得 $y$ 关于 $x$ 的回归方程为 $\hat{y} = 0.65 x - 1.8$ ，则 $(4 ， 1)$ ， $(m ， 2)$ ， $(8 ， 3)$ 这三个样本点中落在回归直线下方的有（）个

A、1 B、2 C、3 D、0

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9. 甲、乙、丙3人从1楼乘电梯去商场的3到9楼，每层楼最多下2人，则下电梯的方法有（）

A、210种 B、84种 C、343种 D、336种

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10. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列 ${a_{n}}$ 称为“斐波那契数列”，则 $a_{2016} a_{2018} - {(a_{2017})}^{2}$ 等于（）

A、1 B、 $- 1$ C、2017 D、 $- 2017$

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11. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为（）

A、232 B、252 C、472 D、484

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12. 已知函数 $f (x) = a ln x - x + \frac{1}{x}$ ，在区间 $(0 ， \frac{1}{2}]$ 内任取两个不相等的实数 $m$ 、 $n$ ，若不等式 $m f (m) + n f (n) < n f (m) + m f (n)$ 恒成立，则实数a值范围是（）

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $(- \infty ， \frac{5}{2}]$ C、 $[2 ， \frac{5}{2}]$ D、 $[\frac{5}{2} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 在 ${(x - \frac{3}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的二项展开式中，常数项为．

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14. 4月16日摩拜单车进驻大连市旅顺口区，绿色出行引领时尚，旅顺口区进行了“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，得下列 $2 \times 2$ 列联表：

年轻人
非年轻人
合计
经常使用单车用户
100
20
120
不常使用单车用户
60
20
80
合计
160
40
200
则得到的 $χ^{2} =$ ． (小数点后保留一位)
(附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ )

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15. 已知 $p : \exists x \in R$ ， $m e^{x} + 1 \leq 0$ ， $q : \forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 m x + 1 > 0$ ，若 $p \lor q$ 为假命题，则实数 $m$ 的取值范围是．

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16. 已知 $f' (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导数， $\forall x \in R$ 有 $f (x) - f (2 - x) = 6 x - 6$ ， $(x - 1) [f' (x) - 2 x - 1] < 0$ ，若 $f (m + 1) < f (2 m) - 3 m^{2} + m + 2$ ，则实数 $m$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 2017年5月13日第30届大连国际马拉松赛举行，某单位的10名跑友报名参加了半程马拉松、10公里健身跑、迷你马拉松3个项目(每人只报一项)，报名情况如下：
项目
半程马拉松
10公里健身跑
迷你马拉松
人数
2
3
5
(其中：半程马拉松 $21.0975$ 公里，迷你马拉松 $4.2$ 公里)

(1)、从10人中选出2人，求选出的两人赛程距离之差大于10公里的概率；

(2)、从10人中选出2人，设 $X$ 为选出的两人赛程距离之和，求随机变量 $X$ 的分布列.

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18. 某理科考生参加自主招生面试，从7道题中(4道理科题3道文科题)不放回地依次任取3道作答.

(1)、求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到理科题的概率；

(2)、该考生答对理科题的概率均为 $\frac{4}{5}$ ，若每题答对得10分，否则得零分，现该生抽到3道理科题，求其所得总分 $X$ 的分布列与数学期望 $E (X)$ .

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19. 已知函数 $f (x) = - a ln x + x - \frac{a}{x}$ ( $f' (x) = \frac{x^{2} - a x + a}{x^{2}} (x > 0)$ 为常数)有两个不同的极值点.

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、记 $f (x)$ 的两个不同的极值点分别为 $x_{1} ， x_{2}$ ，若不等式 $f (x_{1}) + f (x_{2}) > λ {(x_{1} + x_{2})}^{2}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x^{2} - a x$ .

(1)、 $x \in R$ 时，证明： $e^{x} \geq x + 1$ ；

(2)、当 $a = 2$ 时，直线 $y = k x + 1$ 和曲线 $y = f (x)$ 切于点 $A (m, n) (m < 1)$ ，求实数 $k$ 的值；

(3)、当 $0 < x \leq 1$ 时，不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，倾斜角为 $α$ 的直线 $l$ 过点 $M (- 2, - 4)$ ，以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ {sin}^{2} θ = 2 cos θ$ .

(1)、写出直线 $l$ 的参数方程( $α$ 为常数)和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $| M A | \cdot | M B | = 40$ ，求倾斜角 $α$ 的值.

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22.

(1)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程是 ${\begin{matrix} x = 2 c o s α \\ y = 2 + 2 s i n α \end{matrix}$ ( $α$ 为参数， $0 \leq α \leq π$ )，以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.
①写出 $C$ 的极坐标方程；
②若 $A ， B$ 为曲线 $C$ 上的两点，且 $∠ A O B = \frac{π}{3}$ ，求 $| O A | + | O B |$ 的范围.

(2)、已知函数 $f (x) = | 2 x - a | + | 2 x - 4 |$ ， $g (x) = | x - 2 | + 1$ .
① $a = 0$ 时，解不等式 $f (x) \geq 8$ ；②若对任意 $x_{1} \in R$ ，存在 $x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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	年轻人	非年轻人	合计
经常使用单车用户	100	20	120
不常使用单车用户	60	20	80
合计	160	40	200

项目	半程马拉松	10公里健身跑	迷你马拉松
人数	2	3	5

$x$	4	$m$	8	10	12
$y$	1	2	3	5	6