高中数学人教新课标A版选修2-1（理科）第三章3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示同步练习

试卷更新日期：2018-01-23 类型：同步测试

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一、单选题

1. 在以下三个命题中，真命题的个数是（）
①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；
②若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线；
③若a、b是两个不共线的向量，且 $c = λ a + μ b (λ ， μ \in R ， λ μ \neq 0)$ ，则 ${a ， b ， c}$ 构成空间的一个基底．

A、0 B、1 C、2 D、3

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2. 若 ${a ， b ， c}$ 是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（）

A、a，2b，3c B、a+b，b+c，c+a C、a+2b，2b+3c，3a-9c D、a+b+c，b，c

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3. 已知向量 ${a ， b ， c}$ 是空间的一个基底，向量 ${a + b ， a - b ， c}$ 是空间的另一个基底，一向量p在基底 ${a ， b ， c}$ 下的坐标为 $(1 ， 2 ， 3)$ ，则向量p在基底 ${a + b ， a - b ， c}$ 下的坐标为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， \frac{3}{2} ， 3)$ B、 $(\frac{3}{2} ， - \frac{1}{2} ， 3)$ C、 $(3 ， - \frac{1}{2} ， \frac{3}{2})$ D、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{3}{2} ， 3)$

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4. 若向量 $\vec{M A}$ 、 $\vec{M B}$ 、 $\vec{M C}$ 的起点与终点M、A、B、C互不重合且无三点共线，且满足下列关系（O是空间任一点），则能使向量 $\vec{M A}$ 、 $\vec{M B}$ 、 $\vec{M C}$ 成为空间一组基底的关系是（）

A、 $\vec{O M} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$ B、 $\vec{M A} \neq \vec{M B} + \vec{M C}$ C、 $\vec{O M} = \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$ D、 $\vec{M A} = 2 \vec{M B} - \vec{M C}$

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5. 已知空间四边形OABC， $M$ ，N分别是OA，BC的中点，且 $\overset{⇀}{OA} =a$ ， $\overset{⇀}{OB} = b$ ， $\vec{O C}$ =c，用a，b，c表示向量 $\vec{M N}$ 为（）

A、 $\frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b + \frac{1}{2} c$ B、 $\frac{1}{2} a - \frac{1}{2} b + \frac{1}{2} c$ C、 $- \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b + \frac{1}{2} c$ D、 $- \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b - \frac{1}{2} c$

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6. 以下四个命题中，正确的是（）

A、若 $\vec{O P} = \frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B}$ ，则P，A，B三点共线 B、向量 ${a ， b ， c}$ 是空间的一个基底，则 ${a + b ， b + c ， c + a}$ 构成空间的另一个基底 C、 $| (a \cdot b) \cdot c | = | a | \cdot | b | \cdot | c |$ D、△ABC是直角三角形的充要条件是 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 0$

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7. 若 ${e_{1} ， e_{2} ， e_{3}}$ 是空间的一个基底， $a = e_{1} + e_{2} + e_{3}$ ， $b = e_{1} + e_{2} - e_{3}$ ， $c = e_{1} - e_{2} + e_{3}$ ， $d = e_{1} + 2 e_{2} + 3 e_{3}$ ， $d = x a + y b + z c$ ，则x，y，z的值分别为（）

A、 $\frac{5}{2}$ ，-1，- $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ ，1， $\frac{1}{2}$ C、- $\frac{5}{2}$ ，1，- $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$ ，1，- $\frac{1}{2}$

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8. 如图，在三棱柱 ABC-A₁B₁C₁ 中， $M$ 为A₁C₁的中点，若 $\vec{A B}$ =a， $\vec{A A_{1}} = c$ ， $\vec{B C} = b$ ，则下列向量与 $\vec{B M}$ 相等的是（）

A、 $- \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b + c$ B、 $\frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b + c$ C、 $- \frac{1}{2} a - \frac{1}{2} b + c$ D、 $\frac{1}{2} a - \frac{1}{2} b + c$

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9. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，用 $\vec{A C}$ ， $\vec{A B_{1}}$ ， $\vec{A D_{1}}$ 作为基向量，则 $\vec{A C_{1}}$ =.

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二、填空题

10. 已知四面体ABCD中， $\vec{A B} = a - 2 c$ ， $\vec{C D} = 5 a + 6 b - 8 c$ ，AC，BD的中点分别为E，F，则 $\vec{E F}$ =.

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11. 在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若 $\vec{A C_{1}} = x \vec{A B} + 2 y \vec{B C} + 3 z \vec{C_{1} C}$ ，则x+y+z

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三、解答题

12. 如图所示，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ ， $O_{1}$ 分别为底面 $A B C D$ 、底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心， $A B = 6$ ， $A A_{1} = 4$ ， $M$ 为 $B_{1} B$ 的中点， $N$ 在 $C_{1} C$ 上，且 $C_{1} N ： N C ＝ 1 ： 3$ .

(1)、以 $O$ 为原点，分别以 $OA，O B$ ， $OO1$ 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．

(2)、以 D 为原点，分别以 $D A$ ， DC，DD₁所在直线为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．

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13. 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA=AD=1，求 $\vec{M N}$ 、 $\vec{D C}$ 的坐标．

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14. 如图所示，N，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 表示 $\vec{O P}$ 和 $\vec{O Q}$ .

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