高中数学人教新课标A版选修2-1（理科）第三章3.1.3空间向量的数量积运算同步练习

试卷更新日期：2018-01-23 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知空间四面体D-ABC的每条棱长都等于1，点E,F分别是AB,AD的中点，则 $\vec{F E} \cdot \vec{D C}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、- $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、- $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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2. 已知 $| a | = 1 ， | b | = \sqrt{2}$ ，且a-b与a垂直，则a与b的夹角为（）

A、 $60^{\circ}$ B、 $30^{\circ}$ C、 $135^{\circ}$ D、 $45^{\circ}$

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3. 已知a，b均为单位向量，它们的夹角为 $60^{\circ}$ ，那么 $| a + 3 b |$ 等于（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{13}$ D、4

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4. 如图，已知四面体 $O A B C$ 每条棱长等于，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a²的是（）

A、 $2 \vec{B A} \cdot \vec{A C}$ B、 $2 \vec{A D} \cdot \vec{B D}$ C、 $2 \vec{F G} \cdot \vec{A C}$ D、 $2 \vec{E F} \cdot \vec{C B}$

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5. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，有下列命题：① ${(\vec{A A_{1}} + \vec{A D} + \vec{A B})}^{2} = 3 {\vec{A B}}^{2}$ ；② $\vec{A_{1} C} \cdot (\vec{A_{1} B_{1}} - \vec{A_{1} A}) = 0$ ；③ $\vec{A D_{1}}$ 与 $\vec{A_{1} B}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ .
其中正确命题的个数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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6. 如图，正四面体ABCD中，E是BC的中点，那么（）

A、 $\vec{A E} \cdot \vec{B C} < \vec{A E} \cdot \vec{C D}$ B、 $\vec{A E} \cdot \vec{B C} = \vec{A E} \cdot \vec{C D}$ C、 $\vec{A E} \cdot \vec{B C} > \vec{A E} \cdot \vec{C D}$ D、 $\vec{A E} \cdot \vec{B C}$ 与 $\vec{A E} \cdot \vec{C D}$ 不能比较大小

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7. 设A,B,C,D是空间不共面的四点，且满足 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 0$ ， $\vec{A C} \cdot \vec{A D} = 0$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A D} = 0$ ，则△BCD是（）

A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形 D、不确定

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8. 在空间四边形OABC中，OB=OC， $∠ A O B = ∠ A O C = \frac{π}{3}$ ，则 $\cos < \vec{O A} ， \vec{B C} >$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、- $\frac{1}{2}$ D、0

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二、填空题

9. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| a | = 1$ ，且 $a \cdot b = 2$ ，若a与b的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $| b | =$ .

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10. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为，则 $\bar{A_{1} B} \cdot \vec{B_{1} C}$ =.

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11. 已知 $| a | = 3 \sqrt{2}$ ， $| b | = 4$ ，m=a+b， $n = a + λ b ， < a ， b > = 135^{\circ} ， m ⊥ n$ 则 $λ =$ .

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三、解答题

12. 已知空间四边形OABC中， $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ A O C$ ，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证： $O G ⊥ B C$

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13. 如图所示，已知P是△ABC所在平面外一点， $P A ⊥ P C ， P B ⊥ P C ， P A ⊥ P B$ ，
求证： P在面ABC上的射影H是△ABC的垂心．

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14. 如图在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，O为AC与BD的交点，G为CC₁的中点．求证： $A_{1} O ⊥$ 平面GBD.

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