高中数学人教新课标A版选修2-1（理科）第三章3.1.1 空间向量及其加减运算，3.1.2空间向量的数乘运算同步练习

试卷更新日期：2018-01-23 类型：同步测试

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一、单选题

1. 如图，在底面 $ABCD$ 为平行四边形的四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M是AC与BD的交点，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A_{1} D_{1}} = \vec{b}$ ， $\vec{A_{1} A} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{B_{1} M}$ 相等的向量是（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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2. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若 $\vec{B D_{1}} = x \vec{A D} + y \vec{A B} + z \vec{A A_{1}}$ ，则x+y+z的值为（）

A、3 B、1 C、-1 D、-3

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3. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C$ 中，若 $\vec{C A} = \vec{a}$ ， $\vec{C B} = \vec{b}$ ， $\vec{C C_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{A_{1} B} =$ （）

A、 $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ B、 $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

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4. 已知P是正六边形ABCDEF外一点，O为正六边形ABCDEF的中心，则 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} + \vec{P D} + \vec{P E} + \vec{P F}$ 等于（）

A、 $\vec{P O}$ B、 $3 \vec{P O}$ C、 $6 \vec{P O}$ D、0

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5. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若 $\vec{P A} = \vec{a} ， \vec{P B} = \vec{b} ， \vec{P C} = \vec{c}$ ，，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{3}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{3}{2} \vec{c}$

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6. 已知空间四边形 $O A B C$ ，其对角线为 $O B ， A C$ ， $M ， N$ 分别是 $O A ， C B$ 的中点，点 $G$ 在线段 $M N$ 上，且使 $M G = 2 G N$ ，用向量 $\overset{⇀}{O A} ， \overset{⇀}{O B} ， \overset{⇀}{O C}$ 表示向量 $\overset{⇀}{O G}$ 是（）

A、 $\overset{⇀}{O G} = \frac{1}{6} \overset{⇀}{O A} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{O B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{O C}$ B、 $\overset{⇀}{O G} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{O A} + \frac{2}{3} \overset{⇀}{O B} + \frac{2}{3} \overset{⇀}{O C}$ C、 $\vec{O G} = \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B} + \frac{2}{3} \vec{O C}$ D、 $\vec{O G} = \frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B} + \frac{2}{3} \vec{O C}$

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7. 若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有 $\vec{O P} = \frac{3}{4} \vec{O A} + \frac{1}{8} \vec{O B} + \frac{1}{8} \vec{O C}$ ，则P，A，B，C四点（）

A、不共面 B、共面 C、共线 D、不共线

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8. 设 $\vec{a_{1}} = 2 \vec{m} - \vec{j} + \vec{k} ， \vec{a_{2}} = \vec{m} + 3 \vec{j} - 2 \vec{k} ， \vec{a_{3}} = - 2 \vec{m} + \vec{j} - 3 \vec{k} ， \vec{a_{4}} = 3 \vec{m} + 2 \vec{j} + 5 \vec{k}$ （其中 $\vec{m} ， \vec{j} ， \vec{k}$ 是两两垂直的单位向量），若 $\vec{a_{4}} = λ \vec{a_{1}} + μ \vec{a_{2}} + ν \vec{a_{3}}$ ，则实数 $λ ， μ ， ν$ 的值分别是（）

A、1，-2，-3 B、-2，1，-3 C、-2，1，3 D、-1，2，3

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9. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $\vec{C A}$ = $\vec{a}$ ， $\overset{}{\vec{C B}=} \overset{⇀}{b}$ ， $\vec{C C_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{A_{1} B} =$ .（用a，b，c表示）

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10. 已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线，则对空间任一点 $O$ ，存在三个不为 $0$ 的实数 λ ， m， n，使 $λ \vec{O A} + m \vec{O B} + n \vec{O C} = 0$ ，那么 $λ + m + n$ 的值为．

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11. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，给出以下向量表达式：
① $(\vec{A_{1} D_{1}} - \vec{A_{1} A}) - \vec{A B}$ ；② $(\vec{B C} + \bar{B B_{1}}) - \vec{D_{1} C_{1}}$ ；
③ $(\vec{A D} - \bar{A B}) - 2 \vec{D D_{1}}$ ；④ $(\vec{B_{1} D_{1}} + \bar{A_{1} A}) + \vec{D D_{1}}$ .
其中能够化简为向量 $\vec{B D_{1}}$ 的是．

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二、解答题

12. 如图所示，在长、宽、高分别为AB=3，AD=2， $A A_{1} = 1$ 的长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：

(1)、单位向量共有多少个？

(2)、试写出模为 $\sqrt{5}$ 的所有向量；

(3)、试写出与 $\vec{A B}$ 相等的所有向量；

(4)、试写出 $\vec{A A_{1}}$ 的相反向量．

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13. 在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为CD和AD的中点，试化简 $\vec{A G} + \frac{1}{3} \vec{B E} - \frac{1}{2} \vec{A C}$ ，并在图中标出化简结果的向量．

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14. 如图，已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点，且 $\vec{O E} = k \vec{O A}$ ， $\vec{O F} = k \vec{O B}$ ， $\vec{O H} = k \vec{O D}$ ， $\vec{A C} = \vec{A D} + m \vec{A B}$ ， $\vec{E G} = \vec{E H} + m \vec{E F}$ ， $k \neq 0$ ， $m \neq 0$ .
求证：

(1)、A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；

(2)、 $\vec{A C} ∥ \vec{E G}$ ；

(3)、 $\vec{O G} = k \vec{O C}$ .

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