高中数学人教新课标A版选修2-1（理科）第二章2.4.2 抛物线的简单几何性质同步练习

试卷更新日期：2018-01-23 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若一抛物线的顶点在原点，焦点为 $F (0, 1)$ ，则该抛物线的方程为（）

A、 $y^{2} = \frac{1}{4} x$ B、 $y^{2} = 4 x$ C、 $y = 4 x^{2}$ D、 $y = \frac{1}{4} x^{2}$

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2. 已知抛物线C：y²=x的焦点为F，A（x₀ ， y₀）是C上一点，AF=| $\frac{5}{4}$ x₀|，则x₀=（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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3. 过抛物线 $y^{2} = 16 x$ 的焦点作直线交抛物线于 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 两点，如果 $x_{1} + x_{2} = 6$ ，那么 $| A B | =$ （）

A、 $8$ B、 $10$ C、 $14$ D、 $16$

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4. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点 $P$ 为抛物线上一点，且在第一象限， $P A ⊥ l$ ，垂足为 $A$ ， $| P F | = 4$ ，则直线 $A F$ 的倾斜角等于（）

A、 $\frac{7 π}{12}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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5. 过抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点 $F$ 作直线 $l$ 与其交于 $A, B$ 两点，若 $| A F | = 4$ ，则 $| B F | =$ （）

A、 $2$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $1$

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6. 已知点 $P$ 在抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上，那么点 $P$ 到点 $Q (2, - 1)$ 的距离与点 $P$ 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(1, - 2)$ C、 $(\frac{1}{4}, - 1)$ D、 $(\frac{1}{4}, 1)$

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7. 直线 $y = x + b$ 与抛物线 $x^{2} = 2 y$ 交于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点，且 $O A ⊥ O B$ ，则 $b =$ （）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $1$ D、 $- 1$

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8. 过 $x$ 轴上的点 $P (a, 0)$ 的直线与抛物线 $y^{2} = 8 x$ 交于 $A, B$ 两点，若 $\frac{1}{| A P |^{2}} + \frac{1}{| B P |^{2}}$ 为定值，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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二、填空题

9. 若点 $A$ 的坐标为 $(3, 2)$ ， $F$ 为抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的焦点，点 $P$ 在该抛物线上移动，使 $| P A | + | P F |$ 取得最小值的 $P$ 点坐标为．

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10. 过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点作一条直线交抛物线于 $A, B$ 两点，若线段 $A B$ 的中点 $M$ 的横坐标为 $2$ ，则 $| A B | =$ .

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11. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 为抛物线上的动点，点 $M$ 为其准线上的动点，若△ $F P M$ 为边长是 $6$ 的等边三角形，则此抛物线的方程为.

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三、解答题

12. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的一点 $M$ 的横坐标为 $3$ ，焦点为 $F$ ，且 $| M F | = 4$ ，直线 $l ： y = 2 x - 4$ 与抛物线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若 $P$ 是 $x$ 轴上一点，且△ $P A B$ 的面积等于 $9$ ，求点 $P$ 的坐标.

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13. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的点 $T (3 ， t)$ 到焦点F的距离为4．

(1)、求t，p的值；

(2)、设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 5$ （其中O为坐标原点）．求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．

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14. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ ， $P$ 为 $C$ 上一点且纵坐标为 $2$ ， $Q$ ， $R$ 是 $C$ 上的两个动点，且 $P Q ⊥ P R$ ．

(1)、求过点 $P$ ，且与 $C$ 恰有一个公共点的直线 $l$ 的方程；

(2)、求证： $Q R$ 过定点．

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