高中数学人教新课标A选修2-1（理科）第二章2.3.1 双曲线及其标准方程同步练习

试卷更新日期：2018-01-23 类型：同步测试

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一、选择题

1. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a} + \frac{y^{2}}{a - 1} = 1$ 的焦距为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $2 \sqrt{2 a - 1}$ D、 $2 \sqrt{1 - 2 a}$

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2. 设双曲线 $C$ 的两个焦点为 $(- \sqrt{2} ， 0)$ ， $(\sqrt{2} ， 0)$ ，一个顶点是 $(1 ， 0)$ ，则双曲线 $C$ 的方程为（）

A、 $x^{2} - y^{2} = 1$ B、 $2 x^{2} - y^{2} = 1$ C、 $2 x^{2} - 2 y^{2} = 1$ D、 $2 x^{2} - y^{2} = 2$

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3. 平面内，到两定点 $F_{1} (- 3 ， 0)$ 、 $F_{2} (3 ， 0)$ 的距离之差的绝对值等于 $6$ 的点 $M$ 的轨迹是（）

A、椭圆 B、线段 C、双曲线 D、两条射线

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4. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 有相同的焦点，则 $a$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $4$ D、 $10$

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5. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 左焦点 $F_{1}$ 的弦 $A B$ 长为 $6$ ，则△ $A B F_{2}$ （ $F_{2}$ 为右焦点）的周长是（）

A、 $12$ B、 $14$ C、 $22$ D、 $28$

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6. 双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 右支上一点 $P (a ， b)$ 到直线 $l ： y = x$ 的距离 $d = \sqrt{2}$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ 或 $- \frac{1}{2}$ D、 $2$ 或 $- 2$

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4 - b^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ 与 $x$ 轴交于 $A ， B$ 两点，点 $C (0 ， b)$ ，则△ $A B C$ 面积的最大值为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $4$ D、 $8$

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8. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为 $F (\sqrt{7} ， 0)$ ，直线 $y = x - 1$ 与其相交于 $M$ ， $N$ 两点， $M N$ 中点的横坐标为 $- \frac{2}{3}$ ，则此双曲线的方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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二、填空题

9. 已知点 $M (- 2 ， 0) ， N (2 ， 0)$ ，动点 $P$ 满足条件 $| P M | - | P N | = 2 \sqrt{2}$ .记动点 $P$ 的轨迹方程为.

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10. 已知双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ ，点 $F_{1} ， F_{2}$ 为其两个焦点，点 $P$ 为双曲线上一点，若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则 $| P F_{1} | + | P F_{2} |$ 的值为.

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11. $F_{1} (- 4 ， 0)$ 、 $F_{2} (4 ， 0)$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{4} = 1 (m > 0)$ 的两个焦点，点 $M$ 是双曲线 $C$ 上一点，且 $∠ F_{1} M F_{2} = 60 °$ ，则△ $F_{1} M F_{2}$ 的面积为.

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三、解答题

12. 求以椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的焦点为焦点，且过 $(2 ， \frac{3 \sqrt{5}}{2})$ 点的双曲线的方程.

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13. 已知双曲线的两个焦点为 $F_{1} (- \sqrt{5} ， 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{5} ， 0)$ ， $P$ 是此双曲线上的一点，且 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ， $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | = 2$ ，求该双曲线的方程.

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14. 已知双曲线过点 $(3 ， - 2)$ 且与椭圆 $4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$ 有相同的焦点.

(1)、求双曲线的标准方程；

(2)、若点 $M$ 在双曲线上， $F_{1} ， F_{2}$ 为左，右焦点，且 $| M F_{1} | = 2 | M F_{2} |$ ，试求△ $M F_{1} F_{2}$ 的面积.

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