高中数学人教新课标A版选修2-1（理科）第二章2.2.1椭圆及其标准方程同步练习

试卷更新日期：2018-01-17 类型：同步测试

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一、选择题

1. 椭圆 $\frac{x^{2}}{25}$ + $\frac{y^{2}}{169}$ =1的焦点坐标是（）

A、（±5，0） B、（0，±5） C、（0，±12） D、（±12，0）

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2. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 的左焦点为 $F_{1} (- 4, 0)$ ，则 $m =$ （）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $9$ D、 $2$

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3. 如果方程 $\frac{x^{2}}{4 - m} + \frac{y^{2}}{m - 3} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $3 < m < 4$ B、 $m > \frac{7}{2}$ C、 $3 < m < \frac{7}{2}$ D、 $\frac{7}{2} < m < 4$

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4. 椭圆 $m x^{2} + n y^{2} + m n = 0 (m < n < 0)$ 的焦点坐标是（）

A、 $(0 ， \pm \sqrt{m - n})$ B、 $(\pm \sqrt{n - m} ， 0)$ C、 $(0 ， \pm \sqrt{n - m})$ D、 $(\pm \sqrt{m - n} ， 0)$

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5. 椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的两个焦点为F₁、F₂ ，过F₁作垂直于x轴的直线与椭圆相交，P为一个交点，则 $| P F_{2} |$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、 $4$

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6. 已知△ $A B C$ 的周长为 $20$ ，且顶点 $B (0 ， - 4)$ ， $C (0 ， 4)$ ，则顶点 $A$ 的轨迹方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1 (x \neq 0)$ B、 $\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{36} = 1 (x \neq 0)$ C、 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{20} = 1 (x \neq 0)$ D、 $\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{6} = 1 (x \neq 0)$

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7. 椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $P$ 为椭圆上一点，已知 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则△ $F_{1} P F_{2}$ 的面积为（）

A、 $9$ B、 $12$ C、 $10$ D、 $8$

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8. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $| F_{1} F_{2} | = 2 c (c > 0)$ ．若点 $P$ 在椭圆上，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$ ，则点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为（）

A、 $\frac{b^{2}}{a}$ B、 $\frac{b^{2}}{c}$ C、 $\frac{c^{2}}{a}$ D、 $\frac{c^{2}}{b}$

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二、填空题

9. 椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上一点 $P$ 到它的一个焦点的距离等于 $2$ ，那么点 $P$ 到另一个焦点的距离等于.

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10. 椭圆 $\frac{x^{2}}{81} + \frac{y^{2}}{27} = 1$ 的两焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ，一直线过 $F_{1}$ 交椭圆于 $P$ 、 $Q$ ，则△ $P Q F_{2}$ 的周长为．

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，点 $M$ 与 $C$ 的焦点不重合．若 $M$ 关于 $C$ 的焦点的对称点分别为 $A ， B$ ，线段 $M N$ 的中点在 $C$ 上，则 $| A N | + | B N | =$ ．

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三、解答题

12. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)、两个焦点的坐标分别是 $(0 ， 5)$ ， $(0 ， - 5)$ ，椭圆上一点 $P$ 到两焦点的距离之和为 $26$ ；

(2)、焦点在坐标轴上，且经过 $A (\sqrt{3} ， - 2)$ 和 $B (- 2 \sqrt{3} ， 1)$ 两点．

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13. 如图所示，已知圆 $A$ ： ${(x + 3)}^{2} + y^{2} = 100$ ，圆 $A$ 内一定点 $B (3 ， 0)$ ，动圆 $P$ 过 $B$ 点且与圆 $A$ 内切，设动圆 $P$ 的半径为 $r$ ，求圆心 $P$ 的轨迹方程．

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14. 设 $P (x ， y)$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上的点且 $P$ 的纵坐标 $y \neq 0$ ，点 $A (- 5 ， 0)$ 、 $B (5 ， 0)$ ，试判断 $k_{P A} \cdot k_{P B}$ 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．

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