高中数学人教新课标A版必修1第三章3.2.1几类不同增长的函数模型同步练习

试卷更新日期：2018-01-16 类型：同步测试

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一、选择题

1. 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用（）

A、一次函数 B、二次函数 C、指数型函数 D、对数型函数

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2. 若 $x \in (0 ， 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $2^{x} > x^{\frac{1}{2}} > \lg x$ B、 $2^{x} > \lg x > x^{\frac{1}{2}}$ C、 $x^{\frac{1}{2}} > 2^{x} > \lg x$ D、 $\lg x > x^{\frac{1}{2}} > 2^{x}$

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3. 四人赛跑，假设他们跑过的路程 $f_{i} (x) (i \in {1 ， 2 ， 3 ， 4})$ 和时间 $x (x > 1)$ 的函数关系分别是 $f_{1} (x) = 2 x$ ， $f_{2} (x) = x^{2}$ ， $f_{3} (x) = \log_{2} x$ ， $f_{4} (x) = 2^{x}$ ，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是（）

A、 $f_{1} (x) = 2 x$ B、 $f_{2} (x) = x^{2}$ C、 $f_{3} (x) = \log_{2} x$ D、 $f_{4} (x) = 2^{x}$

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4. 西部某地区实施退耕还林，森林面积在 $20$ 年内增加了 $5 %$ ，若按此规律，设 $2016$ 年的森林面积为 $m$ ，从 $2016$ 年起，经过 $x$ 年后森林面积 $y$ 与 $x$ 的函数关系式为（）

A、 $y = \frac{1.05 m x}{20}$ B、 $y = (1 - \frac{0.05 x}{20}) m$ C、 $y = m {(1 + 5 %)}^{\frac{x}{20}}$ D、 $y = [1 + {(5 %)}^{x}] m$

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5. 已知镭经过 $100$ 年剩留原来质量的 $95.76 %$ ，设质量为 $1$ 的镭经过 $x$ 年后的剩留量为 $y$ ，则 $x$ ， $y$ 之间的函数关系为（）

A、 $y = 0.957 6^{\frac{x}{100}}$ B、 $y = 0.957 6^{100 x}$ C、 $y = {(\frac{0.957 6}{100})}^{x}$ D、 $y = 1 - {0.042}^{\frac{x}{100}}$

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6. 下列函数中在某个区间 $(x_{0} ， + \infty)$ 内随 $x$ 增大而增大速度最快的是（）

A、 $y = 100 \ln x$ B、 $y = x^{100}$ C、 $y = \frac{1}{100} e^{x}$ D、 $y = 100 \cdot 2^{x}$

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7. 以下四种说法中，正确的是（）

A、幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B、对任意的 $x > 0 ， x^{n} > \log_{a} x$ C、对任意的 $x > 0 ， a^{x} > \log_{a} x$ D、不一定存在 $x_{0}$ ，当 $x > x_{0}$ 时，总有 $a^{x} > x^{n} > \log_{a} x$

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8. 三个变量 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 随着变量 $x$ 的变化情况如下表：
$x$
$1$
$3$
$5$
$7$
$9$
$11$
$y_{1}$
$5$
$135$
$625$
$1 715$
$3 645$
$6 655$
$y_{2}$
$5$
$29$
$245$
$2 189$
$19 685$
$177 149$
$y_{3}$
$5$
$6.10$
$6.61$
$6. 985$
$7.2$
$7.4$
则关于 $x$ 分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为（）

A、 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ B、 $y_{2}$ ， $y_{1}$ ， $y_{3}$ C、 $y_{3}$ ， $y_{2}$ ， $y_{1}$ D、 $y_{1}$ ， $y_{3}$ ， $y_{2}$

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二、填空题

9. 某种病毒经 $30$ 分钟繁殖为原来的 $5$ 倍，且知病毒的繁殖规律为 $y = e^{k t}$ (其中 $k$ 为常数， $t$ 表示时间，单位：小时， $y$ 表示病毒个数)，则 $k =$ ，经过 $2$ 小时， $1$ 个病毒能繁殖为个．

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10. 某工厂生产某种产品的月产量 $y$ 与月份 $x$ 之间满足关系 $y = a \cdot {1.5}^{x} + b$ .现已知该厂今年 $1$ 月份、 $2$ 月份生产该产品分别为 $3$ 万件、 $5$ 万件．则此工厂 $3$ 月份该产品的产量为万件．

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11. 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程 $f_{i} (x)$ $(i = 1, 2, 3, 4)$ 关于时间 $x (x \geq 0)$ 的函数关系式分别为 $f_{1} (x) = 2^{x} - 1$ ， $f_{2} (x) = x^{2}$ ， $f_{3} (x) = x$ ， $f_{4} (x) = \log_{2} (x + 1)$ ，有以下结论：
①当 $x > 1$ 时，甲走在最前面；
②当 $x > 1$ 时，乙走在最前面；
③当 $0 < x < 1$ 时，丁走在最前面，当 $x > 1$ 时，丁走在最后面；
④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；
⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．
其中，正确结论的序号为（把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分）．

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三、解答题

12. 某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如下表：
月份
1
2
3
产量(千件)
50
52
53.9
为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数 $y = a x + b$ 或 $y = a^{x} + b$ ( $a, b$ 为常数，且 $a > 0$ )来模拟这种电脑元件的月产量 $y$ 千件与月份 $x$ 的关系．请问：用以上哪个函数模拟较好？说明理由．

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13. 函数 $f (x) = {1.1}^{x}$ ， $g (x) = \ln x + 1$ ， $h (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三者的增长差异(以 $1$ ， $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ， $e$ 为分界点)．

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14. 某地西红柿从 $2$ 月 $1$ 日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本 $Q$ (就是每 $100$ 公斤西红柿的种植成本，单位：元)与上市时间 $t$ (单位：天)的数据如下表：
上市时间 $t$
50
110
250
种植成本 $Q$
150
108
150

(1)、根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间 $t$ 的变化关系： $Q = a t + b$ ； $Q = a t^{2} + b t + c$ ； $Q = a \cdot b^{t}$ ； $Q = a \cdot \log_{b} t$ ，并求出函数解析式；

(2)、利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．

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$x$	$1$	$3$	$5$	$7$	$9$	$11$
$y_{1}$	$5$	$135$	$625$	$1 715$	$3 645$	$6 655$
$y_{2}$	$5$	$29$	$245$	$2 189$	$19 685$	$177 149$
$y_{3}$	$5$	$6.10$	$6.61$	$6. 985$	$7.2$	$7.4$

月份	1	2	3
产量(千件)	50	52	53.9

上市时间 $t$	50	110	250
种植成本 $Q$	150	108	150