北京市海淀区2016届九年级上册数学期末考试试卷

试卷更新日期：2018-01-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值是（　　）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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2. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（）

A、40° B、50° C、60° D、80°

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3. 抛物线 $y = {(x - 2)}^{2} + 1$ 的顶点坐标是（）

A、 $(- 2 ， - 1)$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $(2 ， - 1)$ D、 $(2 ， 1)$

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4. 若点A（a，b）在双曲线 $y = \frac{3}{x}$ 上，则代数式ab-4的值为（）

A、 $- 12$ B、 $- 7$ C、 $- 1$ D、1

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5. 如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCF的面积比为（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（）

A、 $y = 2 {(x + 1)}^{2} + 3$ B、 $y = 2 {(x + 1)}^{2} - 3$ C、 $y = 2 {(x - 1)}^{2} - 3$ D、 $y = 2 {(x - 1)}^{2} + 3$

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7. 已知点（ $x_{1} ， y_{1}$ ）、（ $x_{2} ， y_{2}$ ）、（ $x_{3} ， y_{3}$ ）在双曲线 $y = \frac{1}{x}$ 上，当 $x_{1} < 0 < x_{2} < x_{3}$ 时， $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$

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8.
如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点．若BC=8，cosD= $\frac{2}{3}$ ，则AB的长为（　　）

A、 $\frac{8 \sqrt{13}}{3}$ B、 $\frac{16}{3}$ C、 $\frac{24 \sqrt{5}}{5}$ D、12

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9. 在平面直角坐标系xOy中，A为双曲线 $y = - \frac{6}{x}$ 上一点，点B的坐标为（4，0）．若△AOB的面积为6，则点A的坐标为（）

A、（ $- 4$ ， $\frac{3}{2}$ ） B、（4， $- \frac{3}{2}$ ） C、（ $- 2$ ，3）或（2， $- 3$ ） D、（ $- 3$ ，2）或（3， $- 2$ ）

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10.
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²+bx+c与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB=3，则点M到直线l的距离为（　　）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、2 D、 $\frac{7}{4}$

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二、填空题

11. 请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式．

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12. 已知关于x 的方程 $x^{2} - 6 x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．

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13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△ $A' B' C'$ 顶点的横、纵坐标都是整数．若△ABC与△ $A' B' C'$ 是位似图形，则位似中心的坐标是．

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14. 正比例函数 $y = k_{1} x$ 与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象交于A，B两点，若点A的坐标是（1，2），则点B的坐标是．

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15. 古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为x尺，则可列方程为．

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16. 正方形CEDF的顶点D，E，F分别在△ABC的边AB，BC，AC上．

(1)、如图，若 $\tan B = 2$ ，则 $\frac{B E}{B C}$ 的值为；

(2)、将 $Δ$ $A B C$ 绕点D旋转得到 $Δ$ $A' B' C'$ ，连接 $B B'$ 、 $C C'$ ．若 $\frac{C C'}{B B'} = \frac{3 \sqrt{2}}{5}$ ，则 $\tan B$ 的值为．

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三、解答题

17. 计算： $\sin 30 ° + 3 \tan 60 ° - \cos^{2} 45 °$ ．

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18. 解方程： $x^{2} + 2 x - 5 = 0$ ．

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19.
如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：△ABC∽△DAE．

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20. 已知 $m$ 是方程 $x^{2} + x - 1 = 0$ 的一个根，求代数式 ${(m + 1)}^{2} + (m + 1) (m - 1)$ 的值．

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21. 已知二次函数 $y = x^{2} + b x + 8$ 的图象与x轴交于A、B两点，点A的坐标为 $(- 2, 0)$ ，求点B的坐标．

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22. 如图，矩形ABCD为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长度为16米的篱笆（虚线部分）围成．设AB边的长度为x米，矩形ABCD的面积为y平方米．

(1)、y与x之间的函数关系式为（不要求写自变量的取值范围）；

(2)、求矩形ABCD的最大面积．

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23. 如图，在△ABC中，∠ACB= $90 °$ ，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC=12，BC=5．

(1)、求 $cos ∠ A D E$ 的值；

(2)、当 $D E = D C$ 时，求 $A D$ 的长．

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24. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线与直线交于点A（3，1）．

(1)、求直线和双曲线的解析式；

(2)、直线与x轴交于点B，点P是双曲线上一点，过点P作直线PC∥x轴，交y轴于点C，交直线于点D．若DC=2OB，直接写出点的坐标为．

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25. 如图，小嘉利用测角仪测量塔高，他分别站在 $A$ 、 $B$ 两点测得塔顶的仰角 $α = 45 ° ， β = 50 ° .$ $A B$ 为10米．已知小嘉的眼睛距地面的高度 $A C$ 为1.5米，计算塔的高度．（参考数据： $\sin 50 °$ 取0.8， $\cos 50 °$ 取0.6， $\tan 50 °$ 取1.2）

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26. 如图，△ $A B C$ 内接于⊙O，过点B作⊙O的切线DE，F为射线BD上一点，连接CF

(1)、求证： $∠ C B E = ∠ A$ ；

(2)、若⊙O 的直径为5， $B F = 2$ ， $\tan A = 2$ ，求 $C F$ 的长．

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27. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，定义直线 $x = m$ 与双曲线 $y_{n} = \frac{n}{x}$ 的交点 $A_{m ， n}$ （m、n为正整数）为 “双曲格点”，双曲线 $y_{n} = \frac{n}{x}$ 在第一象限内的部分沿着竖直方向平移或以平行于 $x$ 轴的直线为对称轴进行翻折之后得到的函数图象为其“派生曲线”．

(1)、①“双曲格点” $A_{2 ， 1}$ 的坐标为；
②若线段 $A_{4 ， 3} A_{4 ， n}$ 的长为1个单位长度，则n=；

(2)、图中的曲线 $f$ 是双曲线 $y_{1} = \frac{1}{x}$ 的一条“派生曲线”，且经过点 $A_{2 ， 3}$ ，则 $f$ 的解析式为 y=；

(3)、画出双曲线 $y_{3} = \frac{3}{x}$ 的“派生曲线”g（g与双曲线 $y_{3} = \frac{3}{x}$ 不重合），使其经过“双曲格点” $A_{2 ， a}$ 、 $A_{3 ， 3}$ 、 $A_{4 ， b}$ ．

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28. 综合题

(1)、如图1，△ABC中， $∠ C = 90 °$ ，AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC=2，BC=1，则△BCD的周长为；

(2)、O为正方形ABCD的中心，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且△EDF的周长等于AD的长．
①在图2中求作△EDF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
②在图3中补全图形，求 $∠ E O F$ 的度数；
③若 $\frac{A F}{C E} = \frac{8}{9}$ ，则 $\frac{O F}{O E}$ 的值为．

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29. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，定义直线 $y = a x + b$ 为抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 的特征直线，
C $（ a ， b ）$ 为其特征点．设抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 与其特征直线交于A、B两点（点A在点B的左侧）．

(1)、当点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，3）时，特征点C的坐标为；

(2)、若抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 如图所示，请在所给图中标出点A、点B的位置；

(3)、设抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐标为（1，0），DE∥CF．
①若特征点C为直线 $y = - 4 x$ 上一点，求点D及点C的坐标；
②若 $\frac{1}{2} < \tan ∠ O D E < 2$ ，则b的取值范围是什么？

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